Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.6. KOMPLEXITÄTSKLASSE N P 161
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(6.6a)
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(6.6b)
Abbildung 6.6: Färbung einer Kopie des Graphen H
(a) Falls u ′ Farbe 1 hat (siehe 6.6a), benutzen wir die Färbung von Bild 6.3a.
(b) Falls u ′ die Farbe 2 oder 3 hat, (siehe 6.6b), benutzen wir die Färbung
von Bild 6.3b bzw. 6.3c.
4. Die Konstruktion von G ∗ aus G dauert O(k 2 ) Schritte, wobei k die Zahl
aller Kanten von G ist (falls G schon in der Ebene repräsentiert wird, was
auch in polynomialer Zeit durchgeführt wird). In der Tat müssen wir für
jede Kante höchstens k Schneidungen überbrücken, und das dauert (da eine
Überbrückung in konstanter Zeit O(1) durchgeführt wird) O(k) Schritte pro
Kante.
6.6 Komplexitätsklasse N P
Probleme, die grundsätzlich schwieriger zu lösen sind als die der Klasse P, die sich
aber trotzdem in polynomialer Zeit von einer nichtdeterministischen TM lösen lassen,
formen die Komplexitätsklasse N P. Intuitiv kann man N P wie folgt erklären:
falls ein Entscheidungsproblem die Eigenschaft hat, dass man in polynomialer Zeit
überprüfen kann, ob eine ” angebotene“ Lösung wirklich die Aufgabe löst, gehört
das Problem zu N P. Bevor wir N P formal definieren, zeigen wir diese intuitive
Erklärung an einem Beispiel.
Beispiel 1 (ZERLEGBARKEIT). Wir sollen entscheiden, ob für eine Zahl n (Eingabe)
eine Zerlegung in ein Produkt n = pq zweier kleinerer Zahlen existiert. Obwohl
das ein Problem ist, dass in der Mathematik seit tausenden von Jahren behandelt
wurde, gibt es keinen effizienten Algorithmus dafür. Wir wissen also nicht, ob ZER-
LEGBARKEIT zu P gehört. Aber dieses Problem gehört offensichtlich zu N P:
falls uns jemand Zahlen p und q nennt, können wir effizient überprüfen, ob sie eine
Lösung bilden, d.h., ob das Produkt pq der Eingabe gleicht.
Das letzte kann mit einer nichtdeterministischen TM wie folgt gelöst werden: Band 1
ist das Eingabeband. Auf Band 2 wird nichtdeterministisch eine Zahl p geschrieben
und auf Band 3 nichtdeterministisch eine Zahl q. Die NTM multipliziert p mit q und
vergleicht pq mit Band 1: falls pq auf Band 1 steht, hält die NTM und akzeptiert,
falls nicht, hält sie und akzeptiert nicht. Für jede Zahl n, die zerlegbar ist, gibt es
eine Berechnung, die n in linearer Zeit akzeptiert.
Definition. Wir sagen, dass eine nichtdeterministische Turingmaschine M die
Zeitkomplexität p(n) hat, falls es für jede Eingabe der Länge n, die M akzeptiert,
eine akzeptierende Berechnung gibt, die höchstens p(n) Berechnungsschritte
benötigt.
Mit N P bezeichnen wir die Klasse aller Sprachen (oder Entscheidungsprobleme), die
von einer NTM mit polynomialer Zeitkomplexität akzeptiert (oder gelöst) werden
können. Genauer: eine Sprache L gehört zu N P, falls es eine NTM und ein Polynom
p(n) gibt, so dass die NTM die Zeitkomplexität p(n) hat und L akzeptiert.
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