Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.5. GEOMETRISCHE ALGORITHMEN UND REELLE RAM 157
erfolgt, wenn zu dem gegebenen Graphen G ein neuer Knoten a hinzugefügt
und mit allen alten Knoten verbunden wird. Der neue Graph G ist genau dann
•
G
a
•
• •
•
•
Graph G
4-färbbar, wenn G 3-färbbar ist (denn a muß eine andere Farbe haben als
jeder Knoten x = a). Und die Konstruktion von G verlangt nur lineare Zeit.
2. Für planare Graphen ist 2-FÄRBBARKEIT ” leicht“ (denn das gilt für alle
Graphen) und 4-FÄRBBARKEIT noch leichter: nach dem berühmten Satz ist
jeder planare Graph 4-färbbar! Um so erstaunlicher ist die folgende Reduktion,
die zeigt, dass PLANARE 3-FÄRBBARKEIT mindestens so schwierig ist wie
allgemeine 3-FÄRBBARKEIT:
Reduktion: 3-FÄRBBARKEIT ⊳ PLANARE 3-FÄRBBARKEIT
Eingabe: ein beliebiger Graph G.
Den können wir immer in polynomialer Zeit in der Ebene repräsentieren (ohne zu
verlangen, dass die Kanten sich nicht überschneiden). Genauer:
1. für die n Knoten von G wählen wir (beliebig) n verschiedene Punkte der Ebene
und
2. die Kante (u, v) von G wird durch eine Linie von Punkt u nach v repräsentiert,
so dass kein Knoten außer u, v auf der Linie liegt, und falls sich zwei Linien
außer einem Knoten schneiden, liegt der Schnittpunkt auf keiner weiteren
Linie des Graphen.
Ein Beispiel einer solchen Repräsentation ist im Bild 6.1 gezeigt.
Ausgabe: ein planarer Graph G ∗ , der genau dann 3-färbbar ist, wenn G 3-färbbar
ist.
Für die Konstruktion des Graphen G ∗ benutzen wir den Hilfsgraphen H in Abbildung
6.2.
Dieser Graph ist 3-färbbar, Abbildung 6.3 zeigt drei Beispiele von Färbungen mit
den Farben 1, 2, 3.
Lemma 1. Jede 3-Färbung von H färbt N und S mit denselben Farben, analog für
O und W.
Beweis. Nehmen wir an, dass N mit 1 und S mit 2 gefärbt wird. Wie wird der
Mittelpunkt M gefärbt?
Farbe 1: wählt man für die vertikalen Nachbarn von M die Farben 2 (oben) und 3
(unten), dann bleibt für die horizontalen Nachbarn keine Farbe übrig (Bild (6.4a)).
Färbt man dagegen beide vertikalen Nachbarn mit Farbe 3, so muß der rechte
horizontale Nachbar die Farbe 2 erhalten, während der Knoten zwischen S und O
die Farbe 1 erhalten muß. Dies erzwingt die Farbe 2 für den Knoten O. Aber nun
kann der Knoten zwischen N und O nicht mehr gefärbt werden (Bild (6.4b)).