Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

156 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
Daraus folgt, dass wir mit binärem Suchen i0 in der Zeit
finden können. Es gilt j0 = j(i0).
O((log t)(log s)) = O(log(t + s)) = O(log n)
Bemerkung 3. Der obige Algorithmus für die KONVEXE HÜLLE ist optimal. Wir
können nämlich SORTIEREN auf KONVEXE HÜLLE in linearer Zeit reduzieren
– deshalb kann kein Algorithmus schneller als Ω(n log n) sein.
In der Tat formen wir mit gegebenen Zahlen x1, . . .,xn in linearer Zeit die n Punkte
v1, . . . , vn der Kurve y = x 2 mit den gegebenen x-Koordinaten:
x3
x1
x4 x2
y = x 2
Da die Kurve y = x2 konvex ist, enthält die konvexe Hülle der Punkte v1, . . . , vn
jeden dieser Punkte. Also antwortet jeder Algorithmus A, der das Problem KON-
VEXE HÜLLE löst, auf die Eingabe v1, . . .,vn mit der Ausgabe vi1, vi2, . . .,vin, die
eine Orientierung der gegebenen Punkte im Uhrzeigersinn repräsentiert. Sei k der
Index, für den vik der letzte Punkt (nach rechts) ist, dann gilt
xik > xik+1 > · · · > xin > xi1 > xi2 > · · · > xik−1
Wir können k in linearer Zeit O(n) bestimmen und also in der Zeit n + t(n) + n
sortieren, wobei t(n) die Zeit ist, die A benötigt, um die konvexe Hülle zu berechnen.
Es gilt also t(n) = Ω(n log n).
Beispiel 5 (PLANARE 3-FÄRBBARKEIT). Eingabe: Ein planarer Graph (das
heißt, ein Graph, dessen Knoten Punkte der Ebene sind, und dessen Kanten Linien
sind, die sich nur in den Knoten schneiden).
Ausgabe: Entscheidung, ob der Graph mit drei Farben gefärbt werde kann.
Bemerkung 4. 1. Wir wissen, dass für Graphen im allgemeinen 2-FÄRBBAR-
KEIT ” leicht“ und 3-FÄRBBARKEIT ” sehr schwierig“ ist, wie genau später
bewiesen wird. Es folgt, dass zum Beispiel 4-FÄRBBARKEIT auch ” sehr
schwierig“ sein muß: eine triviale Reduktion
3-FÄRBBARKEIT ⊳ 4-FÄRBBARKEIT