Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

3.1. DEFINITION EINER TURINGMASCHINE 75
Q eine endliche Menge (aller Zustände),
Σ eine endliche Menge (das Eingabealphabet), die die Symbole L, R und
# nicht enthält,
δ eine partielle Funktion (die Übergangsfunktion) mit Definitionsbereich
Q × (Σ ∪ {#}) und Wertebereich Q × (Σ ∪ {#,L,R}),
q0 ∈ Q der Initialzustand und
qF ∈ Q der Finalzustand ist.
Notation. Wir schreiben statt δ(q, s) = (q ′ , s ′ ) oft nur
(q, s) → (q ′ , s ′ )
und sprechen von Übergangsregeln. Wir bezeichnen durch Σ die Menge Σ =
Σ ∪ {#}.
Beispiel 1. Teilbarkeit durch 5. Der Algorithmus, der für eine Zahl entscheidet, ob
sie durch 5 teilbar ist, ist einfach: akzeptiert werden Zahlen mit der letzten Ziffer 0
oder 5. Wir lesen also die Eingabe s1 . . .sn bis wir das letzte beschriebene Feld sn
erreichen (also: bis # erscheint und dann einen Schritt zurück). Falls sn = 0 oder
5, gehen wir in den Finalzustand qF über:
(q0, i) → (q0, R) für i = 0, 1, . . .,9 (wir lesen weiter)
(q0, #) → (q1, L) einen Schritt zurück und in den neuen Zustand q1
(q1, 0) → (qF , 0)
falls sn = 0 oder 5, ist der letzte Zustand qF
(q1, 5) → (qF , 5)
Genauer: die folgende TM
M = ({q0, q1, qF }, {0, 1, . . ., 9}, δ, q0, qF),
deren Übergangsregeln oben aufgelistet sind, akzeptiert die Sprache aller Wörter
über Σ = {0, 1, . . ., 9}, die mit 0 oder 5 enden. Beispiel einer Berechnung: für die
Eingabe 132 wird die TM die folgenden Schritte machen:
. . . # # 1 3 2 # # # # . . .
⇑
q0
. . . # # 1 3 2 # # # # . . .
⇑
q0
. . . # # 1 3 2 # # # # . . .
⇑
q0
. . . # # 1 3 2 # # # # . . .
. . . # # 1 3 2 # # # # . . .
⇑
q1
⇑
q0
Initialkonfiguration
Haltekonfiguration
Da kein Übergang (q1, 2) → definiert ist, hält hier die Turingmaschine. Die Eingabe
132 wird nicht akzeptiert, da q1 nicht der Finalzustand ist.