Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

150 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
simuliert und diese wird wiederum von einer Turingmaschine M mit der Zeitkomplexität
O(n 2 + (t(n)) 4 ) simuliert. Dann berechnet M dieselbe Funktion wie die
RAM, und da n 2 + t(n) 4 ein Polynom ist, folgt daraus, dass die Funktion zu FP
gehört.
Schlußbemerkung: Die Klasse P ist unabhängig von unserer Wahl des Berechnungsmodells:
wir konnten, statt TM, eine beliebige deterministische Variante von TM
nehmen, um dieselbe Klasse zu beschreiben. Auch RAM, obwohl es ein viel stärkeres
Modell ist, ergibt für Zahlenfunktionen keine größere Klasse von Funktionen,
die polynomiale Zeitkomplexität haben, als die Klasse FP.
6.5 Geometrische Algorithmen und reelle RAM
Viele Algorithmen, speziell in der Computer-Graphik, arbeiten mit geometrischen
Objekten in der Ebene oder im Raum, und für ihre Komplexität wird ein modifiziertes
Berechnungsmodell benutzt: RAM, die mit reellen Zahlen arbeitet.
Reelle RAM ist genau wie RAM (siehe 4.1) definiert, nur enthält jedes Register
und jedes Feld des Ein- und Ausgabebandes eine reelle Zahl. Auch die Liste aller
Operationen ist gleich (zum Beispiel LOAD i, LOAD ∗i, LOAD !i für eine beliebige
natürliche Zahl i), aber die Operanden von ADD sind reelle Zahlen.
Wie in Kapitel 4 gezeigt wurde, sind weitere Operationen (für RAM oder reelle
RAM) einfach zu programmieren, zum Beispiel die Multiplikation von zwei Zahlen.
Wir nehmen ferner an, dass Multiplikation und Division an einer reellen RAM so
programmiert werden, dass sie in O(1) Schritten durchgeführt werden.
Für die uniforme Komplexität im Fall der reellen RAM definieren wir die Größe
der reellen Zahl x = n10 −m als dig(n) + dig(m).
Beispiel 1 (LINIE). Eingabe: Punkte a, b und r der Ebene, a = b
Ausgabe: JA, falls r auf der Linie L(a, b), von a und b bestimmt, liegt.
Falls ( )x und ( )y die x- und y-Koordinaten bezeichnen, ist die Antwort genau dann
JA, wenn
rx − ax
ry − ay
= bx − ax
by − ay
(im Fall ry = ay und by = ay) oder ganz allgemein: genau wenn
(rx − ax)(by − ay) = (bx − ax)(ry − ay).
Diese Entscheidung dauert nur O(1) Schritte auf einer reellen RAM.
Beispiel 2 (ÜBER DER LINIE). Eingabe: Punkte a, b und r in der Ebene mit
ax = bx
Ausgabe: JA, falls r über der Linie L(a, b) liegt.
•
•
a
b
r
•
r über L(a, b), mit k > 0
•a
• b
r
•
r über L(a, b), mit k < 0