Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.4. ROBUSTHEIT DER KLASSE P 149
Uniforme Zeitkomplexität. Hierbei gilt analog zu TM, dass jede Durchführung
eines Befehls einem Schritt entspricht. Trotz der Analogie zu TM ist diese Variante
nicht realistisch genug: ein Feld der RAM kann nämlich eine beliebig große
Zahl enthalten. Wir können z.B. die ganze Eingabe s1 . . .sn als eine (sehr große)
Zahl i codieren und i in einem Feld speichern – dann hat die Eingabe einfach die
Größe 1. Deshalb hat uniforme Zeitkomplexität nur geringere theoretische Bedeutung
(obwohl sie manchmal benutzt wird mit der Voraussetzung, dass die Codierung
” vernünftig“ durchgeführt wurde).
Logarithmische Zeitkomplexität zählt die Anzahl aller Ziffern, die die Operanden
des Befehls berechnen. Also, falls in einem Feld eine Zahl n steht, hat n die
Größe
dig(n) = kleinste ganze Zahl größer oder gleich log n
(dig(n) ist die Zahl aller Ziffern von n.)
Jeder Befehl zählt als k+1 Schritte, wobei k die Summe der ” Größen“ der Operanden
ist. Z.B. der Befehl STORE i dauert
Und STORE ∗i dauert
1 + dig(i) + dig(n) Schritte, wobei 〈R0〉 = n.
1 + dig(i) + dig(n) + dig(m) Schritte, wobei 〈R0〉 = n und 〈Ri〉 = m.
Satz 2. Jede RAM mit logarithmischer Zeitkomplexität t(n) kann von einer Mehr-
Band TM mit der Zeitkomplexität O(t(n) 2 ) simuliert werden.
Beweis. In Satz 1 in 4.2 haben wir gezeigt, wie man eine RAM einem Programm
von p Zeilen von einer 6-Band-TM simulieren kann. Wir müssen nur beweisen, dass
diese TM die Zeitkomplexität O(t(n) 2 ) hat.
Für jede Eingabe der Länge n dauert die Berechnung der RAM höchstens t(n)
Schritte, und es werden höchstens t(n) Befehle durchgeführt. Daraus folgt, dass
jedes Register eine Zahl mit O(t(n)) Ziffern enthält. Wir zeigen, dass jeder Befehl
in höchstens O(t(n)) Schritten mit der TM simuliert wird – daraus folgt, dass die
ganze Berechnung nur O(t(n) 2 ) Schritte dauert. Es ist klar, dass auf jedem Band
der TM höchstens O(t(n)) Felder beschriftet werden.
Der Beweis, dass jeder Befehl in O(t(n)) Schritten simuliert wird, muß für alle
möglichen Befehle einzeln durchgeführt werden. Wir nehmen zur Illustration den
Fall
STORE ∗i
(detailliert im Beweis von Satz 1 in 4.2 beschrieben); die Zeitkomplexität der anderen
Befehle läßt sich analog schätzen. Zuerst sucht der Kopf auf Band 2 die
Kombination
$ $ i $ j $ $.
Da auf Band 2 höchstens O(t(n)) Felder beschriftet worden sind, dauert die Suche
höchstens O(t(n)) Schritte. Dann schreibt die TM die Zahl j auf Band 5, dazu
werden auch O(t(n)) Schritte benötigt, denn j hat O(t(n)) Ziffern. Da 3t(n) =
O(t(n)), sehen wir, dass STORE ∗i in O(t(n)) Schritten simuliert wird.
Korollar 2. Jede RAM mit polynomialer logarithmischer Zeitkomplexität berechnet
eine Funktion der Klasse FP.
Beweis. In der Tat wird eine RAM, falls sie die Zeitkomplexität t(n) hat, wobei
t(n) ein Polynom ist, von einer Mehr-Band-TM mit der Zeitkomplexität O(t(n) 2 )