Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

146 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
1. φ ist erfüllbar genau dann, wenn x und ¬x in verschiedenen starken Komponenten
von G liegen (für jede Variable x), und
2. die Funktion f, die jeder Formel φ den Graphen Gφ zuordnet, hat eine lineare
Zeitkomplexität.
Es ist klar, dass (2) gilt: falls φ eine Formel der Größe n (= Anzahl aller Variablen
+ Anzahl aller Klauseln) ist, benötigt die Konstruktion von Gφ die Zeit O(n). Wir
beweisen (1).
1. Sei φ erfüllbar. Wir haben also eine Belegung der Variablen, so dass jede
Klausel von φ den Wert true hat (d.h., für jede Klausel α ∨ β gilt α = true
oder β = true). Es folgt, dass von einem true Knoten in Gφ keine Kante
zu einem false Knoten führt. (Für die Kante ¬α → β gilt, falls ¬α = true,
dass β = true sein muss, denn α ∨ β ist eine Klausel von φ; analoges gilt für
¬β → α.) Falls die Variable x den Wert true hat, führt in Gφ also kein Weg
zu ¬x; falls x = false ist, führt kein Weg von ¬x zu x. In beiden Fällen liegen
x und ¬x in verschiedenen starken Komponenten.
2. Seien x und ¬x immer in verschiedenen starken
Komponenten. Wir erinnern an die obige Bemerkung 1: die starken Komponenten
v der Knoten v des Graphen Gφ können so sortiert werden, dass für
jede Kante v → w von G ord(v) ≤ ord(w) gilt. Wir belegen die Variablen wie
folgt:
x = true genau dann, wenn ord(¬x) < ord(x)
(d.h., x hat genau dann den Wert true, wenn die starke Komponente von
¬x vor der starken Komponente von x liegt). Wir müssen beweisen, dass für
jede Klausel α ∨ β entweder α = true oder β = true gilt (denn dann gilt
φ = true).
Nehmen wir an, dass α = false, d.h.,
ord(α) ≤ ord(¬α),
dann beweisen wir β = true. Da Gφ die Kante ¬α → β enthält, gilt ord(¬α) ≤
ord(β) und da er auch die Kante ¬β → α enthält, gilt ord(¬β) ≤ ord(α). Also
Damit ist bewiesen, dass
ord(¬β) ≤ ord(α) ≤ ord(¬α) ≤ ord(β).
ord(¬β) < ord(β)
(denn die Komponenten ¬β und β sind wohl verschieden), also β = true.
Konkrete Beispiele: Die Formel oben ist erfüllbar, denn die starken Komponenten
des Graphen Gφ sind
Die Formel
{x, z, ¬y} und {¬x, y, ¬z}.
(y ∨ x) ∧ (¬y ∨ z) ∧ (¬z ∨ x) ∧ (¬x ∨ ¬t) ∧ (t ∨ ¬x)
ist nicht erfüllbar, denn der entsprechende Graph