Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

74 KAPITEL 3. TURINGMASCHINEN
hat hier der Speicher den Typ eines (unbeschränkten) Bandes, auf dem sich ein
Lese-/Schreibkopf frei bewegt:
. . . a b b a . . .
•
q3
•q0
•
•q2
•q1
⇑
Kopf
Band
Betriebseinheit
(Obwohl das Band unbeschränkt ist, ist zu jedem Zeitpunkt nur ein endlicher Teil
beschrieben; der Rest ist leer.) Noch ein Unterschied im Vergleich zu den Kellerautomaten:
wir arbeiten zuerst nur mit deterministischen Turingmaschinen, denn sie
sind (wie im Fall der endlichen Automaten) genauso leistungsfähig wie die nichtdeterministischen.
Das beweisen wir später. Die Übergangsfunktion δ einer Turingmaschine
entscheidet aufgrund des momentanen Zustandes q und des gerade gelesenen
Bandsymbols s, ob
1. sich der Zustand zu q ′ ändert und sich der Kopf nach links (L) oder rechts
(R) bewegt oder
2. sich der Zustand zu q ′ ändert und der Kopf das momentane Bandsymbol mit
einem neuen Symbol s ′ überschreibt.
Das beschreiben wir als Funktion
δ(q, s) = (q ′ , s ′ ), wobei s ′ = L, R oder s ′ ∈ Σ ist.
(Σ ist das gegebene Eingabealphabet). Wir müssen aber auch Bandfelder, die nicht
beschriftet sind, behandeln. Dazu führen wir ein Spezialsymbol
# (Blank)
ein, das unbeschriftete Felder bezeichnet. In der Formel δ(q, s) = (q ′ , s ′ ) sind q und
q ′ also Zustände, s ein Symbol aus Σ ∪ {#} und s ′ ein Symbol aus Σ ∪ {#,L,R}.
Obwohl die Turingmaschine, wie wir sie jetzt definieren, deterministisch ist, gibt es
neben 1. und 2. noch eine weitere Möglichkeit für ihr Verhalten, nämlich dass
3. die Maschine im Zustand q auf dem Bandsymbol s hält und die Berechnung
endet.
Formal wird dies dadurch beschrieben, dass δ(q, s) nicht definiert ist.
Hier ist δ also eine partielle Funktion. Es gibt einen wichtigen Grund für diesen
dritten Fall: der Kopf der Turingmaschine ist kein read-only-Kopf (wie im Fall
der endlichen Automaten und Kellerautomaten). Der Impuls, eine Berechnung zu
beenden, erfolgt hier also nicht durch das Ende der Eingabe.
Im Vergleich mit den DEA oder Kellerautomaten ergibt sich eine kleine Vereinfachung:
es genügt ein finaler Zustand, wir brauchen keine Menge F ⊆ Q (vergleiche
3.2 unten).
Definition. Eine Turingmaschine (TM) ist ein Fünftupel
M = (Q, Σ, δ, q0, qF)
wobei