Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

142 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
Der reguläre Ausdruck
ergibt also in komprimierter Notation
(aaa + b ∗ )(aaa + b ∗ )
(a ↑ 11 + b ∗ ) ↑ 10.
Ein regulärer Ausdruck über dem Alphabet Σ heißt universal, falls die dadurch
definierte Sprache die ganze Sprache Σ ∗ ist. Z.B. ist der obige reguläre Ausdruck
(über Σ = {a, b}) nicht universal, aber (a ∗ ↑ 11 + b ∗ ) ↑ 10 ist universal. Jeder
reguläre Ausdruck über Σ ist also ein Wort über dem Alphabet
Σ ∪ {∗, +, (, ), 0, 1, ↑}
und die Länge dieses Wortes ist dann die Größe der Eingabe.
Satz 1. Das Problem, zu entscheiden, ob ein gegebener regulärer Ausdruck in komprimierter
Notation über {a, b} universal ist, gehört nicht zu P.
Den Beweis kann der Leser unter 13.15 im Buch von Hopcroft und Ullman (siehe
Einleitung [?]) finden.
6.3 Berechnungsprobleme und Reduzierbarkeit
Die Komplexitätsklasse P wurde für Entscheidungsprobleme eingeführt. Analog
können wir für Berechnungsprobleme die Klasse
FP
einführen, die alle in polynomialer Zeit lösbaren Probleme enthält.
Beispiel 1. 2-FÄRBUNG ist das Problem, zu jedem 2-färbbaren Graphen eine
2-Färbung zu berechnen. Darunter verstehen wir, wie üblich, eine Funktion
f : {0, 1} ∗ → {0, 1} ∗ ,
die jedem binären Code w = c(G) eines Graphen G einen binären Code f(w) seiner
2-Färbung zuordnet, falls G eine 2-Färbung hat.
So eine Funktion kann in linearer Zeit berechnet werden, siehe Beispiel 3 in 6.1.
Wir verwenden wieder TM als Berechnungsmodell. Wir sagen, dass eine TM eine
Funktion
f : Σ ∗ → Γ ∗
(Σ, Γ zwei Alphabete)
berechnet, falls die TM für jede Eingabe s1s2 . . . sn (aus Σ ∗ ) nach endlich vielen
Schritten mit dem Wort f(s1 . . . sn) (aus Γ ∗ ) auf dem Band hält, siehe Abschnitt
3.5
Definition. Wir bezeichnen mit FP die Klasse aller Funktionen f : Σ ∗ → Γ ∗ ,
die von einer TM in polynomialer Zeit berechnet werden können. D.h., für die eine
Turingmaschine M und ein Polynom p(n) existieren, so dass M auf jede Eingabe
s1 . . . sn aus Σ ∗ in höchstens p(n) Schritten hält und f(s1 . . . sn) auf das Band
schreibt.