Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

140 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
hat.
Bemerkung 2. Wir können für die Sprache aller Palindrome eine fast doppelt
so schnelle TM konstruieren, indem wir die beiden ersten Buchstaben speichern
(und löschen) und sie mit den beiden letzten vergleichen (und diese dann auch
löschen). Eine noch schnellere TM würde drei (oder vier usw.) Buchstaben auf
einmal vergleichen. Wir können also eine fast k-mal schnellere TM für ein beliebig
großes k konstruieren. Wir beobachten, dass jede dieser TM eine Zeitkomplexität
hat, die von einem quadratischen Polynom repräsentiert wird.
Den gleichen Beschleunigungsprozess können wir mit jeder TM machen, indem wir
stets in einem Schritt k Felder gleichzeitig lesen und bearbeiten. Aus diesem Grund
ist nicht die Funktion t(n) selbst interessant, nur die ” Geschwindigkeit des Wachstums“
von t(n), also die Klasse O(t(n)).
Definition. Wir bezeichnen mit
P
die Klasse aller formalen Sprachen, die von einer TM mit polynomialer Zeitkomplexität
akzeptiert werden können. Genauer: eine Sprache L gehört zur Klasse P, falls
es eine Turingmaschine M und ein Polynom p(n) gibt, so dass
L = L(M)
und M hält auf Eingaben der Länge n in höchstens p(n) Schritten.
Bemerkung 3. Erinnern wir uns daran, dass
Entscheidungsproblem ≡ formale Sprache.
Genau genommen müssen wir ein Entscheidungsproblem erst codieren (z.B. binär,
mit Symbolen 0 und 1). Dann bezeichnet L ⊆ {0, 1} ∗ die Sprache aller Codierungen
der Eingaben, auf die die Entscheidung JA ist. Weiter nehmen wir immer an, dass
die Codierung von Problemen ” vernünftig“ ist.
Wenn nämlich jemand freiwillig eine extrem lange Codierung der Eingabe benutzt,
kann er auch ein kompliziertes Problem in linearer Zeit p(n) = n, wobei n die
” unvernünftige“ Codelänge ist, lösen. Die folgenden Regeln sind als ” vernünftig“
anzusehen:
1. Zahlen werden binär oder dezimal repräsentiert. (Nicht unär!)
2. Graphen werden durch Adjazenzmatrizen oder Adjazenzlisten dargestellt (siehe
Abschnitt 6.1).
3. Mengentheoretische Operationen (Insert, Delete, Vereinigung, Durchschnitt)
werden so implementiert, dass ihre Ausführung eine konstante Zahl von Zeiteinheiten
dauert.
Beispiel 3 (PALINDROM). Die Entscheidung, ob ein Wort ein Palindrom ist, ist
ein Problem der Klasse P, denn die TM aus Beispiel 2 hat die Zeitkomplexität
O(n 2 ).
Beispiel 4 (2-FÄRBUNG). Das Problem, ob ein Graph mit zwei Farben gefärbt
werden kann, gehört zur Klasse P. In Abschnitt 6.1 haben wir dafür einen Algorithmus
mit linearer Zeitkomplexität beschrieben. Es ist nicht kompliziert, den
Algorithmus mit einer TM zu implementieren und zu beweisen, dass diese TM polynomiale
Zeitkomplexität hat.