Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

Kapitel 3
Turingmaschinen
Weder endliche Automaten noch Kellerautomaten sind genügend starke Berechnungsmodelle,
denn sie sind nicht fähig, selbst so einfache Sprachen wie z. B.
{a n b n c n ; n ≥ 1} zu akzeptieren. Wir führen jetzt ein Modell einer Maschine ein,
die eine sehr starke Leistung hat, obwohl die Definition nicht komplizierter als die
der Kellerautomaten ist: die Turingmaschinen. Diese Maschinen wurden von Alan
Turing in den dreißiger Jahren als Formalisierung des intuitiven Begriffs des Algorithmus
eingeführt. Turing versuchte zu zeigen, dass jeder Rechenprozess, den ein
Mensch aufgrund einer (endlichen, eindeutigen) Anweisung durchführen kann, auch
automatisch von einer Maschine durchgeführt werden kann. Was einem menschlichen
Rechner zur Verfügung steht, ist eine endliche Liste von Instruktionen, die
zusammen mit den Daten in seinem Gedächtnis eine endliche Menge von (inneren)
Zuständen formt. Außerdem hat er einen unbeschränkten Raum, in dem er lesen,
schreiben und überschreiben darf. Das kann (zweidimensional) durch einen beliebig
erweiterbaren Papierstoß realisiert werden, oder äquivalent, falls alle Zeilen als
Erweiterungen der ersten angesehen werden, als ein (eindimensionales) unendliches
Band. Das formale Modell ist dann dem eines Kellerautomaten ähnlich: anstelle des
Kellers gibt es hier ein Band, auf dem sich ein read-and-write-Kopf unbeschränkt
bewegt.
Die Leistungsfähigkeit von Turingmaschinen ist trotzdem unvergleichlich größer als
die der Kellerautomaten. Es zeigt sich, dass die Klasse aller Probleme, die mit Turingmaschinen
gelöst werden können, dieselbe ist wie die Klasse aller Probleme, die
moderne Rechner mit modernen Programmiersprachen lösen können. Die Churchsche
These, die wir später genauer erläutern, behauptet, dass die Turingmaschine
sogar ein ganz allgemeines Modell des Begriffs des Algorithmus ist. Also kann ein
Problem genau dann mit einem Algorithmus gelöst werden, wenn eine Turingmaschine
es lösen kann. Diese These kann nicht bewiesen werden (der Begriff des Algorithmus
ist eben doch nur intuitiv), aber sie wurde mehrmals überzeugend dadurch
untermauert, dass andere – oft grundsätzlich verschiedene – Berechnungsmodelle
dieselbe Klasse lösbarer Probleme ergeben.
3.1 Definition einer Turingmaschine
Eine Turingmaschine besteht – analog zum Kellerautomaten – aus inneren Zuständen,
externem Speicher und einer Betriebseinheit, die aufgrund des momentanen
Zustandes und des gerade gelesenen Symbols entscheidet, welcher der nächste Zustand
ist und wie der Speicher geändert wird. Im Vergleich zu Kellerautomaten
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