Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.1. BEISPIELE EFFIZIENTER ALGORITHMEN 133
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Beispiel 1 (Topologisches Sortieren). In Abschnitt 2.7 haben wir den folgenden
Algorithmus für das topologische Sortieren eines gerichteten Graphen G = (V, E)
beschrieben:
1: {(1) Initialisierung}
2: i := 0
3: W := V {W – die Menge der noch nicht bearbeiteten Knoten}
4: {(2) Rekursionsschritt}
5: while ein Knoten x ∈ W ohne Vorgänger existiert do
6: i := i + 1;
7: ord(x) = i;
8: W := W − {x}
9: Löschen des Knotens x aus dem Graphen
10: od
Wie lange dauert dieser Algorithmus für einen Graphen mit n Knoten? Nehmen
wir an, dass eine Eintragung in die Liste ord sowie die Modifikation der Variablen
i und W eine konstante Zahl A von Zeiteinheiten dauert. Um einen Knoten x ohne
Vorgänger zu finden, suchen wir in der Adjazenzmatrix eine Spalte mit lauter Nullen;
das dauert Km 2 Zeiteinheiten, wobei K eine Konstante ist und m die aktuelle
Knotenzahl ( m = n, n − 1, . . .,1), und die Entfernung eines Knotens dauert eine
konstante Zahl L von Zeiteinheiten. Dann ist die gesamte Zahl von Zeiteinheiten
für diesen Algorithmus
T = 2A +
n
m=1
(Km 2 + 3A + L) > Cn 3
für eine Konstante C.
Dieser Algorithmus kann viel effizienter implementiert werden. Diesmal stellen wir
den Graphen mittels Adjazenzlisten dar. Wir bezeichnen für jeden Knoten v mit
IN[v] (ein Array, v = 1, . . .,n)
die Zahl aller Kanten mit dem Endknoten v und wir setzen
U = {v; v ∈ V und IN[v] = 0}.
Algorithmus für Topologisches Sortieren
Eingabe: Gerichteter Graph G = (V, E) mit n Knoten und k Kanten
Ausgabe: Topologische Sortierung ord : V → {1, . . .,n} von G, falls G azyklisch
ist
1: {(1) Initialisierung}
2: i := 0 {i – die letzte Zahl, die ord benutzt hat}
3: U := ∅ {U - die Menge aller Knoten v mit IN[v] = 0}
4: IN[1] := 0, . . .,IN[n] := 0