Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

5.2. DAS HALTEPROBLEM 123
Also überprüft M0, ob die Eingabe die Form c(M)w hat (siehe Bemerkung in 5.1),
und falls das der Fall ist, simuliert sie die universale Turingmaschine Mu. Die Eingabe
v wird genau dann von M0 akzeptiert, wenn v = c(M)w und Mu (akzeptierend
oder nicht akzeptierend) auf die Eingabe v hält. Äquivalent dazu ist: genau dann,
wenn M auf die Eingabe w hält. Kürzer: L(M0) = Lhalt.
Satz 2 (Unentscheidbarkeit des Halteproblems). Die Sprache Lhalt ist nicht rekursiv.
Beweis. Die Annahme, dass Lhalt rekursiv ist, führt zu einem Widerspruch: es
folgt, dass die Sprache
Lcode = {w; w = c(M) für eine Turingmaschine M mit w /∈ L(M)}
rekursiv-aufzählbar ist. Das ist aber falsch, siehe Beispiel 2 in Kapitel 3.3.
Sei Mhalt eine TM, die Lhalt akzeptiert und auf jede Eingabe hält. Dann lässt sich
in der Tat eine TM konstruieren, die die Sprache Lcode akzeptiert:
w EINGABE
Hat w die Form
w = c(M) für
eine TM M?
TURINGMASCHINE Mcode
JA
Akzeptiert
Mhalt Eingabe
ww?
JA
Akzeptiert
Mu Eingabe
ww?
NEIN NEIN NEIN
w nicht akzeptiert w akzeptiert w akzeptiert
Das heißt, dass die Turingmaschine Mcode eine Eingabe w wie folgt berechnet:
JA
w nicht
akzeptiert
1. Mcode überprüft, ob w = c(M) für eine Turingmaschine M gilt (siehe Bemerkung
in 5.1).
2. Falls ja, wiederholt Mcode die Eingabe und schreibt also
auf das Band.
ww = c(M)w
3. Jetzt simuliert Mcode die Maschine Mhalt bis sie hält.
(a) Falls Mhalt die Eingabe ww nicht akzeptiert, hält Mcode und akzeptiert
w. In diesem Fall hält nämlich die Maschine M nicht auf die Eingabe w
(denn c(M)w /∈ Lhalt); also wird w von M nicht akzeptiert – es folgt
w ∈ Lcode.
(b) Falls Mhalt akzeptiert, simuliert Mcode die universale TM auf dieselbe
Eingabe ww. Da c(M)w ∈ Lhalt gilt, hält M auf die Eingabe w, also hält
die universale TM auf die Eingabe c(M)w. Mcode akzeptiert genau dann,
wenn Mu nicht akzeptiert.
Die Turingmaschine Mcode hält auf jede Eingabe: der erste Schritt hält (denn die
Sprache aller Codes ist rekursiv, siehe 5.1), der zweite hält nach unserer Voraussetzung
von Mhalt, und der letzte hält, denn Mu erhält nur solche Eingaben ww, die
von Mhalt akzeptiert werden, das heißt Eingaben c(M)w mit w = c(M), so dass M
auf w hält (oder äquivalent: Mu hält auf die Eingabe c(M)w = ww).
Welche Eingaben w akzeptiert Mcode? Genau die der Form w = c(M), wobei entweder