Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

118 KAPITEL 5. UNENTSCHEIDBARE PROBLEME
Bemerkung 1. 1. Jede TM kann durch eine TM mit dem Bandalphabet Σ =
{0, 1} simuliert werden. Wir codieren die ursprünglichen Eingabesymbole si
und das ursprüngliche Blanksymbol wie folgt:
Symbol # s1 s2 ... sk
Code 01 011 01 3 ... 01 k+1
Die neue Maschine hat also nur an den noch nicht beschrifteten Feldern Blanksymbole.
Die einzelnen Übergänge werden wie folgt simuliert:
(a) ein Schritt nach rechts wird durch eine Bewegung des Kopfes unter die
nächste 0 nach rechts simuliert; analog für links
(b) Überschreibung von si und sj wird dadurch simuliert, dass 01 j+1 statt
01 i+1 geschrieben wird. Dazu müssen, falls z.B. i = 1 und j = 2, alle
Symbole 0, 1 rechts vom Lesekopf ein Feld nach rechts geschoben werden
(und vorher muss die momentane Kopfposition gespeichert werden – z.B.
dadurch, dass die momentan gelesene 0 gelöscht wird).
2. Eigentlich kann jede TM durch eine TM mit Σ = {|} simuliert werden. Die
Idee ist gleich, aber die Details sind aufwendiger.
Wir beschränken uns auf TM mit dem binären Bandalphabet Σ = {0, 1}. Also
hat die universelle Turingmaschine Mu sowie alle simulierten Maschinen M dieses
Eingabealphabet.
Codierung c(M) von Turingmaschinen M: Für jede TM
deren Zustände
M = (Q, {0, 1}, δ, q0, q1)
Q = {q0, q1, . . . , qn−1}
so durchnummeriert sind, dass q0 der Initialzustand und q1 der Finalzustand ist,
definieren wir ein Codewort
c(M) ∈ {0, 1} ∗
wie folgt. Wir benutzen 0 i um die Zahl i zu codieren und 1 als Trennungssymbol. Das
Wort c(M) hat die folgende Form: Am Anfang steht 111 als Trennungssymbol, dann
folgt 0 n , das die Anzahl n aller Zustände bezeichnet. Dann werden die einzelnen t
Übergangsregeln aus R durch binäre Wörter w1, . . . , wt codiert, wie später erklärt
wird, und durch eine 1 voneinander getrennt. Am Ende schreiben wir wieder 111.
Der Code hat also die Form
c(M) = 1110 n 1w11w21 . . .1wt111.
Um die Übergangsregeln zu codieren, schreiben wir für Zustände 10 i+1 statt qi und
codieren die Symbole L, R, #, 0, 1 wie folgt
Symbol L R # 0 1
Code 10 100 10000 10 4 10 5
Die Übergangsregel
erhält also den Code
die Übergangsregel
den Code
usw.
(qi, 0) → (qj, L)
w = 10 i+1 10 4 10 j+1 10,
(qi, #) → (qj, 0)
w = 10 i+1 10 3 10 j+1 10 4