Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

114 KAPITEL 4. CHURCHSCHE THESE
Bemerkung 3. Nicht jede Turing-berechenbare Funktion ist primitiv-rekursiv. In
der Tat sind alle primitiv-rekursiven total (d.h. überall definiert), und es gibt partielle
Turing-berechenbare Funktionen.
Aber auch alle totalen Turing-berechenbaren Funktionen sind leider nicht primitivrekursiv.
Das können wir abstrakt wie folgt zeigen: alle primitiv-rekursiven Funktionen
können wir systematisch aufzählen, z.B. setzen wir f0 = K0, f1 = succ, f2 = π 1 1 .
Mit den gegebenen Funktionen f0, . . . , fi machen wir alle möglichen Verknüpfungen
und primitiven Rekursionen. Dabei entstehen fi+1, . . . , fj, dann ist fj+1 die nächste
noch nicht eingenommene Projektion, usw. Diese Aufzählung kann bestimmt eine
TM durchführen. Dann ist die Funktion
P(n) = 1 + fn(n, n, . . .,n)
Turing-berechenbar. Aber P ist nicht primitiv-rekursiv: falls nämlich P = fn, haben
wir
P(n) = 1 + fn(n) = fn(n) – ein Widerspruch.
Es ist U. Ackermann 1928 gelungen, ein viel konkreteres Beispiel einer Funktion anzugeben,
die nicht primitiv-rekursiv ist, sich aber mit einem einfachen Algorithmus
berechnen läßt. Die Funktion, die man heute Ackermann-Funktion nennt, ist eine
von R. Peter und R. M. Robinson später entdeckte Vereinfachung der ursprünglichen
Idee:
Beispiel 9. Die Ackermann-Funktion A :
A(0, m) = m + 1
A(n + 1, 0) = A(n, 1) und
A(n + 1, m + 1) = A(n, A(n + 1, m)).
Es gilt also
A(0, 0) = 1,
A(0, 1) = 2,
A(1, 0) = A(0, 1) = 2,
A(0, 2) = 3,
A(1, 1) = A(0, A(1, 0)) = A(0, 2) = 3,
A(2, 0) = A(1, 1) = 3,
2 → ist wie folgt definiert:
usw. Wir erhalten einen Algorithmus, um jeden Wert A(n, m) zu berechnen: alle
möglichen Paare (n, m) werden so aufgezählt, dass der Wert A(n, m) direkt aus den
vorigen Werten berechnet wird:
(0, 0), (0, 1), (1, 0), (0, 2), (1, 1), (2, 0), . . ., Das können wir durch eine TM realisieren,
und wir sehen also, dass die Ackermann-Funktion TM-berechenbar ist.
Trotzdem ist sie nicht primitiv-rekursiv! Man kann nämlich beweisen, dass sie
schneller wächst, als jede primitiv-rekursive Funktion.
Es gilt z.B. folgendes, wie sich leicht durch Induktion über m beweisen lässt:
A(1, m) = m + 2
A(2, m) = 2m + 3
A(3, m) = 2 m+3 − 3
A(4, m) = 22..2 − 3, wobei 22..2 Zum Beispiel
m + 2 Exponentiationen hat.
A(4, 1) = 216 − 3 und A(4, 2) = 2216 − 3 > 101000 .
Bemerkung 4. Wir wollen jetzt die Klasse aller primitiv-rekursiven Funktionen
durch eine neue Operation ergänzen, um alle berechenbaren Funktionen repräsentieren
zu können. Das wird der Minimierungsoperator µ sein, der z.B. jeder 2-stelligen
Funktion f(n, m) die 1-stellige Funktion
µf(n) = min{m; f(n, m) = 0}
zuordnet. Hier müssen wir aber aufpassen: µf ist nicht immer definiert, da es für
eine Zahl n geschehen kann, dass f(n, m) = 0 für alle m ∈ . Deshalb arbeiten