Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

4.4. CHOMSKY-HIERARCHIE 109
Beispiel 1. Die Sprache {a n b n c n ; n ≥ 0}, die nicht kontextfrei ist (siehe 1 in
Abschnitt 2.4) ist kontextsensitiv. In der Tat ist die Grammatik in Beispiel 1 in
Abschnitt 4.3 offensichtlich kontextsensitiv.
Beispiel 2. Jede kontextfreie Sprache, die ε nicht enthält, ist kontextsensitiv. Das
folgt aus der Chomsky-Normalform, die immer kontextsensitiv ist, siehe 2.7.
Bemerkung 1. Der Name ” kontextsensitiv“ stammt von der folgenden Form der
Produktionen:
uAw → uvw,
wobei A eine Variable und v ein nicht leeres Wort über Σ ∪ V ist. Jede derartige
Produktion erlaubt uns, A durch v zu ersetzen, falls sich A im Kontext u?w befindet.
Es zeigt sich, dass jede kontextsensitive Sprache mit Hilfe dieser Regeln gegeben
werden kann:
Satz 1. Jede kontextsensitive Sprache kann von einer Grammatik mit Produktionen
uAw → uvw,
(A Variable; u, v, w Wörter in (Σ ∪ V ) ∗ und v = ε) erzeugt werden.
Beweis. Sei G eine kontextsensitive Grammatik. Jede Produktion
A1A2 . . .An → B1B2 . . . Bm (n ≤ m)
wird durch Produktionen des obigen Typs ersetzt. Wir nehmen an, dass Ai Variablen
sind. (Sonst ersetzen wir Ai durch Variable Ai ∗ und fügen die Produktionen
Ai ∗ → Ai hinzu.) Falls n = 2, ersetzen wir
A1A2 → B1B2 . . . Bm
(m ≥ 2)
durch die folgenden vier Produktionen, die neue Variablen C1 und C2 enthalten:
A1A2
C1A2
→ C1A2
→ C1C2
C1C2B3 . . . Bm → C1B2B3 . . . Bm
C1B2B3 . . .Bm → B1B2B3 . . . Bm.
Jede dieser Produktionen hat die gewünschte Form. Und es ist klar, dass diese
Ersetzung keinen Einfluss auf die erzeugte Sprache hat.
Analog ersetzen wir für n = 3
A1A2A3 → B1B2 . . .Bm (m ≥ 3)
durch sechs Produktionen mit neuen Variablen C1, C2, C3 wie folgt:
A1A2A3 → C1A2A3
C1A2A3 → C1C2A3
C1C2A3 → C1C2C3
C1C2C3B4 . . .Bm → C1C2B3B4 . . . Bm
C1C2B3B4 . . . Bm → C1B2B3B4 . . .Bm
C1B2B3B4 . . . Bm → B1B2B3B4 . . . Bm
Usw. für alle n ≥ 2.
Beispiel 3. Eine Grammatik für {a n b n c n ; n ≥ 1}, die nur Produktionen vom Typ
uAw → uvw hat. Wir nehmen die Grammatik aus Beispiel 2 in Kapitel 4.3 und
wenden die Prozedur des obigen Beweises darauf an. Statt
CB → BC
schreiben wir
CB → C1B
C1B → C1C2
C1C2 → BC2
BC2 → BC
Bemerkung 2. Die Entscheidung, ob für einen gegebenen gerichteten Graphen
G und zwei Knoten x, y ein Pfad von x nach y führt, kann mit einem einfachen