Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

4.3. GRAMMATIKEN UND TURINGMASCHINEN 103
STORE ∗i Auf Band 3 steht eine Zahl n. Diese soll in das Register Rj, wobei
j der Inhalt von Ri ist, gespeichert werden. Also sucht der Kopf auf
Band 2 die (am weitesten rechts stehende) Konfiguration
$ $ i $ j $ $,
und wenn er sie gefunden hat, schreibt er j auf das Hilfsband 5. Jetzt
schreibt die TM auf Band 2 hinter das letzte Symbol $ die Kombination
j $ n $ $.
Der Leser sollte jetzt keine Schwierigkeiten haben, jeden Befehl der RAM entsprechend
zu simulieren. Wenn die RAM hält, hält auch die TM (nachdem sie die
Instruktion WRITE simuliert hat). Sie hat dann f(a1, . . . , ak) auf dem Ausgabeband.
Korollar 1. RAM-berechenbare und Turing-berechenbare Funktionen sind dieselben.
In der Tat ist jede Turing-berechenbare Funktion RAM-berechenbar: siehe Beispiel
6 in Abschnitt 4.1.
4.3 Grammatiken und Turingmaschinen
In Kapitel 2 sprachen wir von kontextfreien Grammatiken, die es erlauben, eine Variable
durch ein Wort zu ersetzen. Das ist ein Spezialfall einer Grammatik (auch
unbeschränkte Grammatik oder Grammatik des Typs 0 genannt), die es allgemein
erlaubt, ein Wort durch ein anderes zu ersetzen. Es zeigt sich, dass diese Grammatiken
genau die rekursiv aufzählbaren Sprachen definieren. In diesem Sinn erhalten
wir also ein vollkommen neues Modell von Sprachen, die Turing-akzeptierbar sind.
Definition. Eine Grammatik G ist ein Quadrupel G = (Σ, V, S, R), wobei Σ das
Alphabet aller Terminalsymbole, V das Alphabet aller Variablen (zu Σ disjunkt),
S ∈ V das Startsymbol und R eine endliche Menge an Paaren (α, β) von Wörtern
über Σ ∪ V mit α = ε ist.
Bemerkung 1. Elemente (α, β) aus R werden mit
α → β
bezeichnet und werden Produktionen oder Ersetzungsregeln genannt. Die Anwendung
einer Regel α → β auf ein Wort w ist genau dann möglich, wenn w die
Form
w = w ′ αw ′′ (w ′ , w ′′ Wörter über Σ ∪ V )
hat. Das Ergebnis der Anwendung ist das Wort
w ′ βw ′′ .
Notation. 1. Mit ⇒ bezeichnen wir die Anwendung einer einzigen Regel; also
schreiben wir für zwei Wörter u, w in (Σ ∪ V ) ∗
u ⇒ v,
falls es eine Regel α → β in R und Wörter u1, u2 in (Σ ∪ V ) ∗ gibt, so dass
u = u1αu2 und v = u1βu2.
2. Mit ⇒ ∗ bezeichnen wir die reflexive und transitive Hülle der Relation ⇒.
Definition. Für jede Grammatik G heißt die Menge aller Wörter über Σ, die vom
Startsymbol ableitbar sind, die Sprache L(G) erzeugt durch G. Kürzer:
L(G) = {w ∈ Σ ∗ ; S ⇒ ∗ w}.
Alle oben definierten Begriffe verallgemeinern die in Kapitel 2 eingeführten Begriffe
für kontextfreie Sprachen. Aber die allgemeinen Grammatiken erzeugen Sprachen,
die nicht kontextfrei sein müssen: