Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

88 KAPITEL 3. TURINGMASCHINEN
4. L ∗ . Dieser Beweis ist analog zu 3. Zunächst prüft M, ob das Eingabeband leer
ist und akzeptiert gegebenenfalls. Ansonsten erzeugen wir auf Band 2, statt
nur einer Zahl i allein, alle möglichen aufsteigenden Listen (i0, i1, . . . , ir) von
Zahlen mit
0 = i0 < i1 < i2 < · · · < ir = n wobei r = 1, . . .,n.
Band 3 simuliert M: wir kopieren erst s1s2 . . .si1 auf Band 3 und, falls die
Simulation in einem finalen Zustand von M hält, si1+1si1+2 . . . si2 auf Band 3
und, falls die Simulation wieder in einem finalen Zustand hält, si2+1 . . . si3 auf
Band 3 usw. Falls alle Simulationen in finalen Zuständen von M halten, wird
die Eingabe von M akzeptiert. Falls irgendeine der Simulationen in einem
nichtfinalen Zustand hält, beginnt eine neue Etappe (mit der nächsten Liste
auf Band 2). Wenn alle Listen auf Band 2 durchgegangen worden sind, ohne
dass bis dahin M akzeptiert hat, hält M in einem nichtfinalen Zustand.
Bemerkung 3. Die Bezeichnung ” rekursiv aufzählbar“ für die von TM akzeptierten
Sprachen stammt von einer anderen Weise, wie TM angewendet werden können:
zur Erzeugung von Sprachen. Wir beginnen mit dem leeren Band, also mit der Konfiguration
(q0, ###)
und lassen die TM berechnen (bis sie hält, oder unendlich lange, falls sie nie hält).
Alle Konfigurationen, die den finalen Zustand qF haben, werden durchsucht und
das Wort w rechts vom Lesekopf wird notiert; die Konfiguration hat also die Form
(qF , vsw) (v ∈ Σ ∗ , s ∈ Σ), und wir notieren w. Die Sprache aller Wörter w, die so
auf dem Band erzeugt werden, wird mit G(M) bezeichnet. Formale Definition:
G(M) = {w; w ∈ Σ ∗ und es existieren v ∈ Σ ∗ und s ∈ Σ
mit (q0, ###) ⊢ ∗ (qF , vsw)}
Wir nennen G(M) die von M aufgezählte Sprache.
Beispiel 4. Die TM
M = ({q0, q1, qF }, {|}, δ, q0, qF)
mit den Übergangsregeln
(q0, |) → (q1, L)
(q0, #) → (q0, |)
(q1, |) → (qF,L)
(q1, #) → (q1, |)
(qF,#) → (q0, |)
berechnet die leere Eingabe wie folgt:
(q0, ###) ⊢ (q0, #|#)
⊢ (q1, #|#)
⊢ (q1, #||#)
⊢ (qF,#||#) also || ∈ G(M)
⊢ (q0, #|||#)
⊢ (q1, #|||#)
⊢ (q1, #||||#)
⊢ (qF,#||||#) also |||| ∈ G(M)
⊢ (q0, #|||||#)
.
.
Wir sehen, dass M die Sprache aller positiven geraden Zahlen aufzählt.
Satz 2. Jede Sprache G(M), die von einer Turingmaschine M aufgezählt wird, ist
rekursiv aufzählbar.
Beweis. Wir konstruieren eine 2-Band Turingmaschine M ′ , die die Sprache G(M)
akzeptiert. Band 1 ist ein read-only-Eingabeband. Auf Band 2 wird die Maschine