Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

86 KAPITEL 3. TURINGMASCHINEN
3. Die Sprache {a n b n c n ; n ≥ 1} (siehe Beispiel 4 in Abschnitt 3.2.5 und Satz 1
in Abschnitt 3.2.5).
Beispiel 2. Eine Sprache Lcode, die nicht rekursiv aufzählbar ist.
Es ist nicht möglich, ein ” natürliches“ Beispiel einer nicht rekursiv aufzählbaren
Sprache zu finden, da alle ” natürlichen“ Beispiele durch irgendeinen Algorithmus
beschrieben werden. Aber vorausgesetzt, dass wir eine Codierung für alle TM mit
dem Bandalphabet {0, 1} haben (eine solche Codierung wird in Kapitel 5.1 ausführlich
beschrieben), können wir eine konkrete Sprache, die nicht rekursiv aufzählbar
ist, konstruieren. Wir nehmen also an, dass es für jede Turingmaschine M mit Bandalphabet
{0, 1} ein Wort c(M) über {0, 1} gibt, sodass der Code c(M) die Sprache
der Turingmaschine M vollständig beschreibt. Das heißt, dass für alle Turingmaschinen
M und M ′ gilt:
c(M) = c(M ′ ) ⇒ L(M) = L(M ′ ).
Mit Lcode bezeichnen wir die Sprache aller Codewörter w = c(M) solcher Turingmaschinen
M, die ihr eigenes Codewort nicht akzeptieren:
Lcode = {w; w = c(M) für eine Turingmaschine M mit w /∈ L(M)}.
Diese Sprache ist nicht rekursiv aufzählbar.
Beweis. Die Annahme, dass es eine Turingmaschine ˆ M mit L( ˆ M) = Lcode gibt,
führt zu einem Widerspruch. Für das Codewort ˆw = c( ˆ M) dieser Maschine ˆ M
zeigen wir nämlich, dass (a) aus ˆw /∈ Lcode folgt ˆw ∈ Lcode und (b) aus ˆw ∈ Lcode
folgt ˆw /∈ Lcode. Dann ist weder ˆw ∈ Lcode noch ˆw /∈ Lcode wahr.
Zu (a): Da ˆw /∈ L( ˆ M) und ˆw = c( ˆ M), folgt aus der Definition von Lcode, dass
ˆw ∈ Lcode.
Zu (b): Da ˆw ∈ Lcode, gibt es M mit ˆw = c(M) und ˆw /∈ L(M). Aus c(M) = c( ˆ M)
folgt aber L(M) = L( ˆ M); es gilt also ˆw /∈ L( ˆ M) = Lcode.
Bemerkung 1. Jede rekursive Sprache ist selbstverständlich rekursiv aufzählbar,
und jede kontextfreie Sprache ist rekursiv, wie sofort bewiesen wird.
REGULÄR
KONTEXTFREI
REKURSIV
REKURSIV AUFZÄHLBAR
ALLE SPRACHEN
Beispiel 4 in Abschnitt 3.2.5 zeigt, dass die Sprache L = {a n b n c n ; n ≥ 1} rekursiv
(aber nicht kontextfrei) ist. Ein Beispiel einer Sprache, die rekursiv aufzählbar aber
nicht rekursiv ist, wird in Kapitel 5 vorgeführt. Dort zeigen wir, dass ein solches
Beispiel die Sprache
Lhalt
aller Wörter c(M)w ist, wobei M eine Turingmaschine und w ein Eingabewort ist,