Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

82 KAPITEL 3. TURINGMASCHINEN
3.2.5 TM mit mehreren Bändern
Die nächste Modifikation von TM ist eine Maschine, die mehrere Bänder hat und
bei der auf jedem Band ein Lese-/Schreibkopf steht. Die k Köpfe bewegen sich
unabhängig voneinander und schreiben auch unabhängig voneinander auf ihren individuellen
Bändern. Die Kontrolle ist aber zentral (durch den gegebenen Zustand):
Band 1
Band 2
. . . . . .
⇑
Kopf 1
. . . . . .
⇑
Kopf 2
SCHEMA EINER 2-BAND TM
q4 •
•q0
Das bedeutet, dass der Übergangsfunktion δ hier der Zustand q und die k gelesenen
Symbole
(s1, s2, . . .,sk) ∈ Σ k
zur Verfügung stehen. (Wir bezeichnen mit A k = A × A × · · · × A die Menge
aller k-Tupel von Elementen aus A). Hier ist Σ die Menge aller Bandsymbole von
allen k Bändern. Als Ergebnis haben wir einen neuen Zustand q ′ und ein k-Tupel
von Symbolen aus {L,R} ∪ Σ ∪ {#}. Das heißt, dass δ eine partielle Funktion mit
Urbildbereich Q × (Σ ∪ {#}) k und Wertebereich Q × (Σ ∪ {#,L,R}) k ist.
Definition. Eine k-Band-Turingmaschine ist ein Fünftupel M = (Q, Σ, δ, q0, qF ),
die wie eine TM definiert wird, nur ist δ jetzt eine partielle Funktion mit Urbildbereich
Q × (Σ) k und Wertebereich Q × (Σ ∪ {L,R}) k .
Die Berechnung durch eine k-Band TM ist analog zum Fall einer 1-Band TM definiert.
Eine Konfiguration hat die Form
(q, u1a1v1, u2a2v2, . . . , ukakvk),
wobei q der Zustand und uiaivi der Inhalt des i-ten Bandes bezeichnet. Falls
δ(q, a1 . . . ak) definiert ist, wird die Folgekonfiguration individuell auf jedem Band
berechnet. Falls δ(q, a1 . . .ak) undefiniert ist, heißt die Konfiguration Haltekonfiguration.
Band 1 dient als Eingabeband, das heißt, die Initialkonfiguration für eine
Eingabe s1 . . .sn ist
(q0, s1 . . .sn, #, #, . . .,# )
(k−1)−mal
Die Eingabe wird akzeptiert, falls die Maschine eine Haltekonfiguration mit dem
finalen Zustand erreicht.
Beispiel 4. Eine 2-Band TM, die die Sprache
{a n b n c n ; n ≥ 1}
akzeptiert.
Die TM hat ein Eingabeband (Band 1) und ein Hilfsband (Band 2). Band 1 bleibt
unverändert, Band 2 ist am Anfang leer.
•
•
q3
•q1
•
q2