Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

184 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
1. Jeder Hamiltonsche Kreis von G besteht aus n Kanten, also betragen die
Kosten copt = n. Da Aε ε-approximierend ist, gilt also
und somit
c − n
n
≤ ε
c ≤ (ε + 1)n.
2. Falls die gefundene Rundreise der Bedingung c ≤ (1 + ε)n genügt, zeigen wir,
dass sie nur Kanten aus G enthält, also einen Hamiltonschen Kreis in G bildet.
Dazu reicht es, c < 2 + ⌈εn⌉ + (n − 1) zu beweisen, denn jede Rundreise, die
mindestens einmal die Kanten von G verläßt, kostet mindestens 2 + ⌈εn⌉ (=
Kosten einer Kante außerhalb von G) plus n−1 (die untere Grenze der Kosten
der anderen n − 1 Kanten). Wegen εn < ⌈εn⌉ + 1 folgt
c ≤ (ε + 1)n < n + ⌈εn⌉ + 1 = 2 + ⌈εn⌉ + (n − 1).
Zeitkomplexität des Algorithmus A: für den Algorithmus Aε existiert ein Polynom
p(n), so dass Aε die Rundreise in der Zeit p(n) findet. Dann dauert die Bearbeitung
des Graphen G höchstens O(n 2 ) Schritte für die Konstruktion von TSP und dann
p(n) Schritte für Aε , insgesamt also O(n 2 + p(n)) Schritte. Das bedeutet, dass A
in der Klasse P liegt – im Widerspruch zur N P-Vollständigkeit von HAMILTON-
SCHEM KREIS.
Zusammenfassung: Für Optimierungsprobleme, für die wir keinen effizienten Algorithmus
finden können, können wir versuchen, approximierbare Algorithmen zu
finden. Es gibt Aufgaben, die sogar für jedes ε einen ε-approximierbaren Algorithmus
besitzen, z.B. SIT(k). Leider gibt es aber wichtige Optimierungsaufgaben, die
keinen ε-approximierbaren Algorithmus erlauben, z.B. TSP.
6.12 Raumkomplexität
Bisher haben wir einen Algorithmus als effizient betrachtet, falls er wenig Zeit
braucht. Ein anderer wichtiger Gesichtspunkt ist der Speicherbedarf eines Algorithmus.
Wie die Zeitkomplexität ist auch die Raumkomplexität prinzipiell von der
Implementation unabhängig, falls wir nur die Frage stellen, ob polynomial großer
Speicher genügt. Deswegen können wir wieder Turingmaschinen als Berechnungsmodell
verwenden. Wir sagen, dass eine TM die Raumkomplexität s(n) hat, wo-
bei s(n) eine Funktion über der Menge
aller natürlichen Zahlen ist, falls für
jede Eingabe w der Länge n die TM hält und der Kopf höchstens s(n) Bandfelder
durchgegangen ist.
Definition. Wir bezeichnen mit
PSPACE
die Klasse aller formalen Sprachen, die von einer TM mit polynomialer Raumkomplexität
akzeptiert werden können. Genauer: eine Sprache L gehört zur Klasse
PSPACE, falls es eine Turingmaschine M und ein Polynom p(n) gibt, so dass
L = L(M) und M hat die Raumkomplexität p(n).
Bemerkung 1. 1. Die vorher eingeführten Klassen P und N P werden oft
PT IME und N PT IME
bezeichnet, um sie von PSPACE zu unterscheiden.