Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

182 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
4: Tm :=
Sopt(i)=m ti
5: end for
6: for i = r + 1 to n do
7: m := ein Index mit Tm = min{T1, . . . , Tk}
8: S(i) := m
9: Tm := Tm + ti
10: end for
Korrektheit: klar
Zeitkomplexität: Für jede Konstante r hat dieser Algorithmus dieselbe Zeitkomplexität
O(n · log n) wie oben in Beispiel 3. Genauer: der Algorithmus braucht die
Zeit
O(n log n + k r+1 ).
Für jede Konstante r ist dies einfach O(n log n). Wenn aber ε in (1) gegen Null
geht, wächst r und die Zeitkomplexität steigt exponentiell.
In der Tat kann die optimale Zuordnung in Zeile 2 wie folgt gefunden werden: wir
durchsuchen alle k r möglichen Zurodnungen: für jede Zuordnung S berechnen wir
in der Zeit O(k) die gesamte Bearbeitungszeit T(S), die die m Arbeiten unter der
Planung S dauern, und dann finden wir in der Zeit O(k r ) das Minimum aller T(S).
Schritt 2 dauert also O(k · k r ) Zeiteinheiten.
O(k k/ε )
Zeiteinheiten und der Algorithmus hat also die Zeitkomplexität O(n·log n+k M+1 ).
Approximierung: Wir beweisen, dass unser Algorithmus ε-approximierbar ist, falls
(1) gilt:
(2) aus r ≥ k
ε
folgt T − Topt
Topt
Beweis. T sei der Zeitbedarf der Zuordnung, die unser Algorithmus findet. Es
muß mindestens eine Aufgabe Wi geben, die genau zur Zeit T beendet wird. Falls
i ≤ r, ist Wi eine der optimal zugeordneten Aufgaben W1, . . . , Wr – also stimmt der
Zeitbedarf T (zufällig) mit dem (optimalen) Zeitbedarf für die ersten r Aufgaben
überein und ist folglich selber optimal, T = Topt, was (2) beweist. Wir können also
(3) i > r
annehmen. Also erfolgt die Zuordnung der Aufgabe Wi durch den obigen Algorithmus
A. Die Aufgabe Wi beginnt zur Zeit T −ti. Daraus folgt, dass alle k Maschinen
im Zeitraum [0, T −ti) durchgängig beschäftigt sind. Falls es nämlich eine Maschine
geben sollte, deren Tätigkeit zur Zeit T0 < T − ti aufhört, würde der Algorithmus
A die Aufgabe Wi auf dieser Maschine zum Zeitpunkt T0 beginnen lassen (denn
A bevorzugt die weniger beschäftigten Maschinen) und somit würde Wi nicht zur
Zeit T enden. Die Gesamtarbeitszeit aller k Maschinen im Zeitraum [0, T −ti), also
einem Intervall der Länge T − ti, beträgt also k(T − ti). Aber der Algorithmus A
verplant nur Aufgaben Wj mit j < i in diesem Zeitraum (da Wi selbst erst zur Zeit
T − ti anfängt). Im Intervall [0, T − ti) werden also nur die Aufgaben W1, . . . , Wi−1
bearbeitet. Die Gesamtarbeitszeit k(T − ti) ist also höchstens so groß wie die Zeit
t1 + · · · + ti−1, die die Bearbeitung der Aufgaben W1, . . . , Wi−1 verlangt:
(4) k(T − ti) ≤ t1 + · · · + ti−1.
Es gilt also
(5) T ≤ t1 + · · · + ti−1
k
+ ti.
≤ ε