Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.11. APPROXIMATION VON OPTIMIERUNGSPROBLEMEN 181
für die die Zahl
minimal ist.
T = max{
S(i)=1
ti, . . .,
S(i)=k
Ein 1/3-approximierender Algorithmus A für SIT(k)
Der folgende Algorithmus erledigt erst die längsten Arbeiten und erst dann die
kürzeren. Außerdem zieht er die am wenigsten benutzten Maschinen vor. Wir benutzen
die Hilfsvariable
Eingabe: Zahlen t1, . . . , tk
ti}
Tm = die Zeit, die Maschine m bisher gearbeitet hat
Ausgabe: Funktion S : {1, . . ., n} → {1, . . ., k}
1: sortiere die gegebenen Zeiten, so dass t1 ≥ t2 ≥ · · · ≥ tn
2: for m = 1 to k do
3: Tm := 0
4: end for
5: for i = 1 to n do
6: m := ein Index mit Tm = min{T1, . . . , Tk}
7: S(i) := m
8: Tm := Tm + ti
9: end for
Korrektheit: In der zweiten Schleife ab Zeile 5 wird jede Aufgabe Wi einer Maschine
S(i) zugeordnet.
Zeitkomplexität: Das Sortieren in Zeile 1 dauert O(n·log n) Zeiteinheiten, die Initialisierung
in Zeilen 2–4 dauert O(1) Einheiten, jeder der n Durchläufe der Schleife ab
Zeile 5 dauert O(1) Zeiteinheiten (insbesondere besitzt die Menge, deren Minimum
in Zeile 6 zu bestimmen ist, immer k Elemente). Insgesamt wird der Zeitbedarf des
Algorithmus durch das Sortieren in Zeile 1 dominiert und betragt
O(n log n).
Dies ist also ein Algorithmus der Klasse P.
Approximierung: Dieser Algorithmus ist 1/3-approximierend. Anstatt dies hier zu
beweisen, zeigen wir (für ein beliebig kleines ε > 0) einen ε-approximierenden Algorithmus
für SIT(k).
Beispiel 4 (Ein ε-approximierender Algorithmus für SIT(k)). Die Idee ist einfach:
wir wählen eine ” geeignete“ Konstante und verteilen die ersten r (längsten) Aufgaben
optimal – z.B. suchen wir aus allen k r möglichen Zuordnungen die beste aus.
Den Rest berechnen wir mit dem Algorithmus aus Beispiel 3. Wir werden zeigen,
dass jede Wahl
(1) r >
k − 1
ε
einen ε-approximierbaren Algorithmus ergibt. Für eine ausgewählte Konstante r
beschreiben wir also den entsprechenden Algorithmus.
Approximierender Algorithmus Ar für SIT(k):
1: sortiere t1 ≥ t2 ≥ · · · ≥ tn
2: finde für die Eingabe t1, . . .,tr die optimale Planung Sopt : {1, . . .,r} → {1, . . .,k}
3: for m = 1 to k do