Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

76 KAPITEL 3. TURINGMASCHINEN
Die Berechnung von Eingaben formalisieren wir jetzt.
Konfigurationen: Eine Konfiguration einer Turingmaschine ist die vollständige
Information über die TM zu einem Zeitpunkt der Berechnung; sie wird durch (1)
den momentanen Zustand q, (2) den Inhalt des Bandes und (3) die Position des
Kopfes bestimmt. Also ist (1) ein Element der Menge Q. Wir können (2) und (3)
zusammenfassen, indem wir sagen, welches Wort u links vom Kopf steht, welches
Wort v rechts steht und welches Symbol a aus Σ = Σ ∪ {#} der Kopf liest. Dabei
ist u entweder leer, oder hat das erste Symbol aus Σ und die weiteren aus Σ:
u ∈ Σ × Σ ∗ ∪ {ε}.
Analog v ∈ Σ ∗ × Σ ∪ {ε}. Eine Konfiguration ist also ein Quadrupel
(q, u, a, v), wobei q ∈ Q, u ∈ Σ × Σ ∗ ∪ {ε}, a ∈ Σ und v ∈ Σ ∗ × Σ ∪ {ε}.
Die Menge
K = Q × (Σ × Σ ∗ ∪ {ε}) × Σ × (Σ ∗ × Σ ∪ {ε})
heißt Konfigurationsmenge.
Die üblichere (und übersichtlichere) Schreibweise ist, u, a, v zu konkatenieren und a
zu unterstreichen:
(q, uav).
In Beispiel 1 in Abschnitt 3.1 hat die Berechnung also die Konfigurationen
(q0, 132)
(q0, 132)
(q0, 132)
(q0, 132#) und
(q1, 132)
Berechnung: Die Eingabe
s1s2 . . . sn ∈ Σ ∗
wird immer so auf das Band geschrieben, dass die Buchstaben ohne Leerzeichen
hintereinander stehen. Der Kopf wird auf den ersten Buchstaben gestellt und der
Zustand ist initial. Mit anderen Worten heißt das: wir erwarten am Anfang, dass
die Konfiguration die folgende Form hat:
(∗) (q0, s1s2 . . .sn), wobei s1 . . . sn ∈ Σ ∗ .
Der Fall der leeren Eingabe ε ∈ Σ ∗ (also n = 0) entspricht der Konfiguration
(q0, #).
Konfigurationen der Form (∗) heißen Initialkonfigurationen.
Falls die Turingmaschine eine Konfiguration
(q, s1s2 . . .si−1sisi+1 . . . sn)
erreicht hat, gibt es zwei Möglichkeiten: entweder ist δ(q, si) nicht definiert, dann
heißt die Konfiguration Haltekonfiguration, oder es gilt
δ(q, si) = (q ′ , s ′ ) mit s ′ ∈ {L,R} ∪ Σ,
dann definieren wir die Folgekonfiguration wie folgt:
1. falls s ′ =L, dann ist die Folgekonfiguration
(q ′ , s1s2 . . . si−1sisi+1 . . . sn)
2. falls s ′ =R, dann ist die Folgekonfiguration
(q ′ , s1s2 . . . si−1sisi+1 . . . sn)
3. falls s ′ ∈ Σ, dann ist die Folgekonfiguration
(q ′ , s1s2 . . . si−1s ′ si+1 . . . sn).
Diese Definition ist in Tabelle 3.1 zusammengefasst.