Nr. 2 Reibung Teil A - KFU
Nr. 2 Reibung Teil A - KFU
Nr. 2 Reibung Teil A - KFU
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<strong>KFU</strong>G, Inst. f. Experimentalphysik, Laborübungen aus Experimentalphysik I<br />
<strong>Nr</strong>. 2 <strong>Reibung</strong> <strong>Teil</strong> A<br />
Die verschiedenen Arten der <strong>Reibung</strong> sind für unterschiedliche Bewegungsvorgänge zu<br />
bestimmen.<br />
1. Notwendiges Basiswissen<br />
Einfache Bewegungsvorgänge; Newton´sche Gesetze, Kenntnis über Begriffe wie: Masse,<br />
Kraft, Beschleunigung, Geschwindigkeit, Ort und Zeit; Haftreibung, Gleitreibung,<br />
Rollreibung, laminare Strömung, Viskosität, Hagen-Poiseuille´sches Gesetz, Stokes´sche<br />
<strong>Reibung</strong>, Reynolds´sche Zahl.<br />
2. Aufgabenstellungen<br />
a) Bestimme die Haftreibung für verschiede Materialien (Aluminium auf Aluminium,<br />
Teflon auf Aluminium, Stahl auf Aluminium, Kunststoff auf Aluminium).<br />
b) Bestimme die Gleitreibung für verschiedene Materialien (Aluminium auf Aluminium,<br />
Teflon auf Aluminium, Stahl auf Aluminium, Kunststoff auf Aluminium).<br />
c) Bestimme die Viskosität einer zähen Flüssigkeit (Glycerin) mithilfe der<br />
Kugelfallmethode mit Korrektur für den endlichen Durchmesser des Gefäßes.<br />
d) Bestimme die Viskosität einer Flüssigkeit (Wasser) mithilfe des Hagen-Poiseuille´schen<br />
Gesetzes (Ostwald-Viskosimeter).<br />
e) Bestimme die Temperaturabhängigkeit der Viskosität und stelle diese in einem<br />
Diagramm dar.<br />
f) Bestimme die Reynolds´sche Zahl für die bewegte Kugel in einer zähen Flüssigkeit.<br />
Trage diese in Abhängigkeit des Kugeldurchmessers auf.<br />
Vorgangsweise<br />
ad a) Die verschiedenen Probekörper (Klötze aus Alu, Stahl, Teflon, Kunststoff) sind<br />
nacheinander in die V-förmige Schiene zu legen. Die Neigung der Schiene wird<br />
solange erhöht, bis der Probekörper hinuntergleitet. Der Grenzwinkel α, bei dem<br />
Bewegung des Probekörpers einsetzt, ist zu bestimmen. Aus diesem Winkel ist für<br />
den Fall einer 90° V-förmigen Schiene (β = 45°) der Haftreibungskoeffizient für<br />
diesen Probekörper zu bestimmen. Das Experiment ist an verschiedenen Stellen (ca.<br />
30) der Schiene zu wiederholen und aus den verschiedenen Ergebnissen des<br />
Haftreibungskoeffizienten Mittelwert und Standardabweichung zu bestimmen. Das<br />
Experiment ist für die verschiedenen Materialien (Alu, Stahl, Teflon, Kunststoff)<br />
durchzuführen.<br />
ad b) Die verschiedenen Probekörper (Klötze aus Alu, Stahl, Teflon, Kunststoff) werden<br />
in der V-förmigen Schiene, welche um den Winkel ϕ gegenüber der Horizontalen<br />
geneigt ist, zum Rutschen gebracht. Die dafür benötigte Zeit wird elektronisch<br />
erfasst. Für verschiedene Neigungswinkel ϕ ist der Gleitreibungskoeffizient zu<br />
bestimmen und Mittelwert und Standardabweichung anzugeben. Das Experiment ist<br />
für die verschiedenen Materialien (Alu, Stahl, Teflon, Kunststoff) durchzuführen.<br />
ad c) Die konstante Geschwindigkeit einer fallenden Stahlkugel in einer zähen Flüssigkeit<br />
ist zu bestimmen. Dazu wird die Zeit zwischen 2 Wegmarken mithilfe der<br />
elektronischen Stoppuhr gemessen. Der Bereich konstanter Geschwindigkeit<br />
P.Knoll, <strong>Reibung</strong>, Innere <strong>Reibung</strong> 1
<strong>KFU</strong>G, Inst. f. Experimentalphysik, Laborübungen aus Experimentalphysik I<br />
zwischen den Wegmarken wird dadurch erreicht, dass die Fallhöhe über der<br />
Flüssigkeitsoberfläche entsprechend gewählt wird. Dies kann iterativ erfolgen: Nach<br />
dem ersten Versuch wurde die konstante Geschwindigkeit mit v0 ermittelt; die<br />
2<br />
v0<br />
benötigte 1. Abschätzung der Fallhöhe ergibt sich aus: s1<br />
= . Mit dieser Fallhöhe<br />
2g<br />
wird der nächste Versuch gestartet. Für den i-ten Versuch ergibt sich die Fallhöhe<br />
2<br />
vi−1<br />
zu: si<br />
= . Nach wenigen Versuchen ist bereits die geeignete Fallhöhe bestimmt.<br />
2g<br />
(g = 9,81m/s 2 ). Das Experiment ist mit Stahlkugeln mit verschiedenen Radien<br />
durchzuführen. Für jeden Kugelradius sind aus ca. 10 Versuchen der Mittelwert der<br />
2r ( K Fl )<br />
Geschwindigkeit zu ermitteln. Trägt man<br />
9v<br />
2<br />
ρ − ρ r<br />
gegen auf, so kann mit<br />
R<br />
lim<br />
r<br />
→<br />
R<br />
0<br />
die Viskosität η bestimmt werden. Gleichzeitig erhält man die<br />
⎛ r ⎞<br />
r<br />
Korrekturfunktion f ⎜ ⎟ , welche mit 1 + C linear approximiert werden kann.<br />
⎝ R ⎠<br />
R<br />
ρK, Dichte der Kugel; wird durch Masse und Volumen bestimmt.<br />
ρFl, Dichte der Flüssigkeit; wird mit Aräometer bestimmt oder aus Tabelle<br />
(Glycerin) entnommen.<br />
r, Radius der Kugel; wird aus Durchmesser, welcher mit Schiebelehre bestimmt<br />
wird, ermittelt.<br />
R, Radius des Gefäßes; wird aus Durchmesser, welcher mit Schiebelehre bestimmt<br />
wird, ermittelt.<br />
vr, Geschwindigkeit der Kugel mit Radius r; wird wie oben beschrieben gemessen.<br />
Die Stahlkugeln können mit Hilfe eines Siebes, das an einem Schuber befestigt ist,<br />
aus der Flüssigkeit entfernt werden. Bitte auf Sauberkeit des Arbeitsplatzes achten.<br />
ad d) Im U-förmig gebogenen Rohr des Ostwald-Viskosimeters (Hagen-Poiseuille´sches<br />
Gesetz) wird mithilfe einer Ballonpumpe eine Druckdifferenz erzeugt, welche die<br />
Flüssigkeit (Wasser) in dem Schenkel des U-Rohres mit der kapillaren Verengung<br />
über die Marke M1 steigen lässt. Nach Abnehmen der Ballonpumpe strömt die<br />
Flüssigkeit (Wasser) mit konstanter Geschwindigkeit durch die verengte Röhre. Die<br />
Geschwindigkeit des bekannten Volumens zwischen den Markierungen wird durch<br />
Messen der Zeit, welche der Flüssigkeitsmeniskus von der Marke M1 zur Marke M2<br />
benötigt, mit der elektronischen Stoppuhr bestimmt. Daraus wird die Viskosität<br />
berechnet. Die Druckdifferenz wird aus dem Höhenunterschied der Wassersäulen<br />
ermittelt, welche durch eine mittlere konstante Höhe genähert wird. Verwendung<br />
findet das Viskosimeter mit der roten Markierung.<br />
ad e) Mithilfe des Kugelfallviskosimeters nach Höppler wird die Viskosität unter<br />
Berücksichtigung der Gerätekonstanten K bestimmt. Durch Spülen mit aufgeheiztem<br />
Wasser wird die Temperatur erhöht. Die Messung ist im Bereich 20°C bis 70°C für<br />
mindestens 10 verschiedene Temperaturen durchzuführen. In einem Diagramm ist<br />
die Viskosität gegen die Temperatur aufzutragen. Dabei wird für diesen<br />
Temperaturbereich von konstanter Dichte ausgegangen (Fehler kleiner als 0,5%).<br />
P.Knoll, <strong>Reibung</strong>, Innere <strong>Reibung</strong> 2<br />
r
<strong>KFU</strong>G, Inst. f. Experimentalphysik, Laborübungen aus Experimentalphysik I<br />
ad f) Für die Stokes´sche <strong>Reibung</strong> (Aufgabe c) ist für die verschiedenen Kugelradien die<br />
Reynolds´sche Zahl zu bestimmen und zu überprüfen, ob man sich noch im<br />
Gültigkeitsbereich laminarer Strömung befindet.<br />
3. Zur Auswertung notwendige Zusammenhänge<br />
ad a)<br />
µ H<br />
RH<br />
1 =<br />
FN<br />
1<br />
=<br />
2 + 2 cos 2β<br />
sinα<br />
≡<br />
2 cosα<br />
1<br />
2<br />
tanα<br />
β = 45°<br />
ad b)<br />
2 s<br />
sinϕ<br />
− 2<br />
g t<br />
µ G =<br />
cosϕ<br />
2 s<br />
sinϕ<br />
− 2<br />
2 + 2 cos 2β<br />
g t<br />
≡<br />
2 2 cosϕ<br />
ad c)<br />
ad d)<br />
β = 45°<br />
⎛ r ⎞<br />
= − 6 π η r vr<br />
f ⎜ ⎟ = ( ρ Fl<br />
⎝ R ⎠<br />
− ρ K ) V g ,<br />
r ρ K − ρ Fl<br />
9vr<br />
⎛ r ⎞ ⎛ r ⎞<br />
= ηf<br />
⎜ ⎟ ≈ η⎜1<br />
+ C ⎟<br />
⎝ R ⎠ ⎝ R ⎠<br />
2<br />
4<br />
8ηl<br />
V<br />
∆pA<br />
hρ<br />
Fl gA hρ<br />
Fl gr0<br />
π hρ<br />
Fl gr0<br />
tπ<br />
= − 8π<br />
η l v = − = −∆pA<br />
, η = = = =<br />
2<br />
r t<br />
8πlv<br />
8πlv<br />
8πlv<br />
8lV<br />
FR K<br />
F R<br />
0<br />
( )<br />
ad e) η = ( ρ − ρ )tmit<br />
der Gerätekonstanten K aus dem Datenblatt<br />
ad f)<br />
K K Fl<br />
ρ Fl r<br />
η<br />
v r<br />
Re<br />
=<br />
P.Knoll, <strong>Reibung</strong>, Innere <strong>Reibung</strong> 3<br />
2 2
<strong>KFU</strong>G, Inst. f. Experimentalphysik, Laborübungen aus Experimentalphysik I<br />
<strong>Nr</strong>. 2 <strong>Reibung</strong> <strong>Teil</strong> B<br />
4. Beschreibung der Geräte<br />
4.1. Geräteliste<br />
1.<br />
V-förmige Schiene aus Aluminium. Öffnungswinkel der beiden Schenkelflächen = 90°<br />
(β=45°). 2 Endkontakte für elektronische Stoppuhr. Ständer für Höhenverstellung.<br />
2.<br />
Fallrohr mit Flüssigkeit (Glycerin), Messmarken und einem Sieb mit Schieber, Kugeln mit<br />
verschiedenen Durchmessern und Dichte.<br />
3.<br />
Ostwald Viskosimeter (Hagen-Poiseuille).<br />
4.<br />
Kugelfallviskosimeter nach Höppler<br />
5.<br />
Schiebelehre, Maßband, Aräometer und verschiedene Quader für Gleit- und<br />
Haftreibungsbestimmung<br />
6.<br />
elektronische Stoppuhr<br />
4.2. Detailbeschreibungen<br />
Computer<br />
Fallrohr<br />
Ostwald<br />
Viskosimeter<br />
Stoppuhr<br />
V-Schiene<br />
Kugelfall<br />
Viskosimeter<br />
P.Knoll, <strong>Reibung</strong>, Innere <strong>Reibung</strong> 4
<strong>KFU</strong>G, Inst. f. Experimentalphysik, Laborübungen aus Experimentalphysik I<br />
Ad 1) Die V-förmige Alu-Schiene wird mit dem entsprechenden Kabel für die Endkontakte<br />
mit der elektronischen Stoppuhr verbunden. Durch Veränderung der Höhe am Ständer kann<br />
der Winkel der Schiene verändert werden. Die Höhe der Lagerung der Schiene am Ständer<br />
entspricht der Ablesung des Maßstabes an der unteren Kante des Aluminiumblockes plus 2mm<br />
(mit Maßband überprüfen!). Da die Schiene vom Lager bis zur Auflage auf der Tischfläche<br />
120cm lang ist ergibt sich der Winkel α = arcsin<br />
h[<br />
cm]<br />
.<br />
120<br />
Ad 2)<br />
Ad 3)<br />
Kugeln<br />
Marke1<br />
Marke2<br />
Schieber<br />
mit Sieb<br />
Marke<br />
Marke<br />
Werte: mittlere Höhe:<br />
h1<br />
+ h2<br />
h = = 11,<br />
5cm<br />
2<br />
Kapillare: l = 100mm, r = 0,35mm(rot)/0,20mm(blau)<br />
Volumen zwischen den Marken: V = 0,5ml<br />
P.Knoll, <strong>Reibung</strong>, Innere <strong>Reibung</strong> 5
<strong>KFU</strong>G, Inst. f. Experimentalphysik, Laborübungen aus Experimentalphysik I<br />
Ad 4)<br />
Fallrohr<br />
Die Kalibrierung des Gerätes ist für waagrechte<br />
Aufstellung mit Heizflüssigkeitsanschluss unten.<br />
Derzeit ist Kugel <strong>Nr</strong>. 4 eingesetzt. Die Fallzeit wird<br />
zwischen Marke A und B bestimmt.<br />
Heizung mit<br />
Thermostat<br />
und Pumpe<br />
Heizflüssigkeit<br />
Werte des Gerätes:<br />
Kugel Dichte<br />
ρK<br />
[g/cm 3 ]<br />
Durchmesser<br />
[mm]<br />
Konstante K<br />
3<br />
⎡mPa<br />
⋅ s ⋅ cm ⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ g ⋅ s ⎦<br />
Messbereich<br />
für η<br />
[Pa s]<br />
1 2,2 15,81 0,00673 0,2 – 2,5<br />
2 2,2 15,66 0,0519 2,0 – 20<br />
3 8,1 15,62 0,0757 15 – 200<br />
4 8,1 15,25 0,528 100 – 1200<br />
5 7,7 14,29 4,51 800–10000<br />
6 7,7 11,11 33,2 6000 –<br />
75000<br />
Bei diesem Kugelfallviskosimeter ist der Fallzylinder<br />
um 10° gegenüber der Senkrechten geneigt. Dadurch<br />
rollt die Kugel auf der Innenseite des Zylinders und hat<br />
daher eine definierte Drehrichtung. Der Messkolben des<br />
Gerätes kann um 180° geschwenkt werden (Rücklauf<br />
der Kugel) und rastet in diesen Stellungen ein. Durch<br />
eine angebrachte Libelle kann das Gerät waagrecht<br />
einjustiert werden (Kalibrierung!). Die Temperatur<br />
kann am Thermostaten eingestellt werden. Nach einiger<br />
Zeit wird Temperaturgleichgewicht erreicht (erkennbar<br />
am Ein- und Ausschalten der Heizung) und die<br />
Temperatur des Wasserbades kann abgelesen werden.<br />
Zur besseren Durchmischung und Temperaturverteilung<br />
vor eigentlicher Messung einen Probelauf durchführen.<br />
P.Knoll, <strong>Reibung</strong>, Innere <strong>Reibung</strong> 6
<strong>KFU</strong>G, Inst. f. Experimentalphysik, Laborübungen aus Experimentalphysik I<br />
Ad 5)<br />
Ad 6)<br />
Durch Drücken der Mode-Taste wird der Clock-modus aktiviert. Durch die Reset-Taste wird<br />
die Stoppuhr auf Null gestellt. Durch drücken der Start Taste wird Zeitnehmung ausgelöst,<br />
nochmaliges Drücken unterbricht, bei jedem weiteren Drücken wird abwechselnd gestartet und<br />
gestoppt. Erst mit Reset wird Stoppuhr auf Null gesetzt. Durch Anschließen des Kabels an die<br />
Remote-Buchse, kann Start und Stop von externen Schaltern übernommen werden. Reset wird<br />
nach wie vor durch die Reset-Taste vorgenommen.<br />
5. Besondere Hinweise zum Umgang mit dem Gerät, Sicherheitshinweise<br />
Unbedingt den Arbeitsplatz sauber halten! Die dazu vorhandene Küchenrolle verwenden.<br />
P.Knoll, <strong>Reibung</strong>, Innere <strong>Reibung</strong> 7
<strong>KFU</strong>G, Inst. f. Experimentalphysik, Laborübungen aus Experimentalphysik I<br />
<strong>Nr</strong>. 2 <strong>Reibung</strong> <strong>Teil</strong> C<br />
6. Literatur<br />
• Siehe z.B. Bergmann-Schäfer Bd1.<br />
7. Kontrollfragen<br />
• Wie erfolgt die idealisierte Bewegung ohne <strong>Reibung</strong>?<br />
• Welche <strong>Reibung</strong> ist geschwindigkeitsunabhängig?<br />
• Welche <strong>Reibung</strong> ist abhängig von der Geschwindigkeit?<br />
• Wodurch entsteht <strong>Reibung</strong>?<br />
• Was ist der Unterschied zwischen Haft- und Gleit-<strong>Reibung</strong>?<br />
• Warum ist Gleitreibung meist kleiner als die Haftreibung?<br />
• Warum driften Ralley-Fahrer durch die Kurven und nicht Formel 1 Piloten?<br />
• Was ist die Einheit der Viskosität?<br />
• Was ist das Besondere der laminaren Strömung?<br />
• Was ist die Reynolds´sche Zahl und was bedeutet sie?<br />
P.Knoll, <strong>Reibung</strong>, Innere <strong>Reibung</strong> 8
<strong>KFU</strong>G, Inst. f. Experimentalphysik, Laborübungen aus Experimentalphysik I<br />
8. Grundlagen<br />
8.1 Einfache Bewegungen<br />
Die Bewegungen von Körpern entstehen durch das Zusammenspiel von folgenden<br />
physikalischen Größen: Kräften ( F r ), Massen (M), Ort ( x r )und Zeit (t). Weitere Größen wie<br />
r<br />
r ∂x<br />
r<br />
zum Beispiel der Impuls ( p = M = Mx&r<br />
= Mv<br />
) oder der Energieinhalt (potentielle und<br />
∂t<br />
kinetische) können daraus abgeleitet werden. Die physikalischen Gesetzmäßigkeiten, die nun<br />
zwischen diesen Größen wirken, wurden von Newton durch Beobachtung herausgefunden.<br />
Insbesondere ist dabei die Kraft als die Änderung des Bewegungszustandes einer Masse<br />
erkannt worden. Die Newton'schen Axiome lauten:<br />
1. Jeder Massepunkt verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung auf<br />
geradliniger Bahn solange keine Kräfte auf ihn einwirken.<br />
2. Definition der Kraft: Kraft ist die Ursache einer Impulsänderung (Beschleunigung (b r )).<br />
3. actio = reactio: Jede Kraft erzeugt eine gleich große Gegenkraft.<br />
Diese mit Worten definierten Gesetze lassen sich etwas kompakter mathematisch<br />
formulieren. Die beiden ersten Gesetze ergeben die bekannte Beziehung:<br />
r<br />
F<br />
p<br />
x x<br />
p Mb<br />
Mv<br />
M M Mx<br />
Mx&<br />
t<br />
t t<br />
r & & r<br />
r r<br />
2 r r<br />
∂ &r & r ∂ & ∂<br />
= = + = + = + .<br />
∂<br />
∂ ∂<br />
= 2<br />
Dabei wurde gleich von der Vektorschreibweise Gebrauch gemacht. Bei konstanter Masse<br />
trägt nur mehr der Term mit der Beschleunigung bei.<br />
r r<br />
Das 3. Newton'sche Axiom, dass es zu jeder Kraft auch eine Gegenkraft gibt, also Fi<br />
= −F<br />
j ,<br />
führt zur wichtigen Beziehung, dass bei Berücksichtigung sämtlicher Kräfte offenbar gilt:<br />
∑ i<br />
Fi r<br />
= 0 .<br />
Solche Systeme, wo es keine mehr nach außen gerichteten Kräfte gibt, nennt man<br />
abgeschlossene Systeme. Diese beiden mathematischen Ausdrücke bilden die Grundlagen für<br />
die Behandlung sämtlicher Bewegungsprobleme. Wählen wir als einfachen Fall eine<br />
konstante Masse M auf die eine zeitlich und örtlich konstante Kraft F in Richtung x wirken<br />
soll. Da hier ein streng eindimensionales Problem vorliegt, können wir auf die<br />
Vektorschreibweise verzichten. Aus ∑ Fi = 0<br />
i<br />
r<br />
folgt, dass es eine gleich große Gegenkraft<br />
geben muss. Dies ist die sogenannte Trägheitskraft, welche nach F M&x<br />
& r r<br />
= für die Änderung<br />
des Bewegungszustandes verantwortlich ist. Wir erhalten direkt die Bewegungsgleichung:<br />
F − M&<br />
x&<br />
= 0 .<br />
Durch Lösen dieser Differentialgleichung erhalten wir sämtliche Zusammenhänge zwischen<br />
P.Knoll, <strong>Reibung</strong>, Innere <strong>Reibung</strong> 9
<strong>KFU</strong>G, Inst. f. Experimentalphysik, Laborübungen aus Experimentalphysik I<br />
Weg, Zeit, Geschwindigkeit und Beschleunigung:<br />
F<br />
b = & x&<br />
= =<br />
M<br />
const.<br />
bzw. durch Integrieren:<br />
t<br />
F F<br />
v(<br />
t)<br />
= x = ∫ xdt<br />
= ∫ dt = ( t − t0<br />
) + v0<br />
M M<br />
& & .<br />
t<br />
0<br />
t<br />
t<br />
0<br />
Besonderer Augenmerk ist hier auf die Integrationsgrenzen und die Integrationskonstante zu<br />
legen, da diese die entsprechenden Randbedingungen festlegen. In unserem Fall wurde ganz<br />
allgemein als Randbedingung festgelegt, dass zur Zeit t0 die Geschwindigkeit v0 vorliegen<br />
soll. Durch weiteres Integrieren erhält man:<br />
s(<br />
t)<br />
t<br />
t<br />
= s0<br />
+ ∫ v(<br />
t)<br />
dt = s0<br />
+ ∫<br />
t<br />
t<br />
0<br />
0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
F<br />
M<br />
2<br />
( t − t ) + v dt = s + ( t − t ) − t ( t − t ) + v ( t − t )<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Im besonderen Fall der Randbedingungen, dass t0=0, s0=0 und v0=0 sind, erhalten wir die<br />
bekannte Gesetzmäßigkeit der gleichförmig beschleunigten Bewegung:<br />
F 1<br />
s ( t)<br />
t = bt<br />
2M<br />
2<br />
2 2<br />
= .<br />
Bis jetzt wurden nur die Abhängigkeiten gegenüber der Zeit angegeben. Von allen anderen<br />
möglichen Beziehungen soll lediglich noch die Frage geklärt werden, welche<br />
Geschwindigkeit liegt an welchem Ort vor. Dies erhält man durch Elimination der Zeit,<br />
welche durch den Weg ausgedrückt werden kann. Wir gehen von den einfachen<br />
Randbedingungen aus und erhalten:<br />
F F 2Ms<br />
2Fs<br />
v( s)<br />
= t = = = 2bs<br />
.<br />
M M F M<br />
Nachteil der hier verwendeten Methode, aus den Kräftegleichungen zu<br />
Bewegungsgleichungen zu kommen, ist, dass in komplexeren Systemen nicht immer alle<br />
Kräfte leicht zu erkennen sind und dadurch leicht Fehler entstehen. Deswegen wurden<br />
weitere Verfahren entwickelt, welche von der kinetischen und potentiellen Energie eines<br />
Systems ausgehen, welche oft einfacher zu erkennen sind. Der Vollständigkeit halber sollen<br />
sie hier kurz angeführt werden.<br />
Das Lagrange Verfahren:<br />
Aus der kinetischen Gesamtenergie eines Systems T und der gesamten potentiellen Energie V<br />
wird die Lagrange-Funktion L( x,<br />
x&<br />
) = T −V<br />
r r<br />
gebildet, welche als Variablen den<br />
generalisierten Ort und seine zeitliche Ableitung beinhaltet. Die Bewegungsgleichungen<br />
∂ ∂L<br />
∂L<br />
erhält man dann nach folgender Vorschrift: − = 0.<br />
∂t<br />
∂x&<br />
∂x<br />
In unserem vorigen Beispiel der einfachen gleichförmigen Beschleunigung lautet die<br />
P.Knoll, <strong>Reibung</strong>, Innere <strong>Reibung</strong> 10<br />
0<br />
F<br />
2M<br />
0<br />
F<br />
M<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
.
<strong>KFU</strong>G, Inst. f. Experimentalphysik, Laborübungen aus Experimentalphysik I<br />
1 2<br />
Lagrange-Funktion: L ( x,<br />
x&<br />
) = Mx&<br />
+ Fx<br />
2<br />
M& x&<br />
− F = 0.<br />
und man erhält als Bewegungsgleichung:<br />
Hamilton Formulismus:<br />
Hier geht man von der Gesamtenergie eines Systems aus, welche durch generalisierten Ort<br />
r r<br />
und Impuls in Form der Hamiltonfunktion H ( x,<br />
p)<br />
= T + V angegeben wird. Die<br />
H<br />
Bewegungsgleichung erhält man dann nach folgender Vorschrift: p&r ∂<br />
= − r zusammen mit<br />
∂x<br />
H<br />
x&r ∂<br />
= r .<br />
∂p<br />
In unserem vorigen Beispiel der einfachen gleichförmigen Beschleunigung lautet die<br />
2<br />
1 2 p<br />
Hamilton-Funktion: H ( x,<br />
p)<br />
= Mx&<br />
− Fx = − Fx . Als Bewegungsgleichungen erhält<br />
2<br />
2M<br />
p<br />
man: p & = F und x & = . Daraus erhält man wiederum die bereits bekannte<br />
M<br />
Bewegungsgleichung als Differentialgleichung 2. Ordnung in x: M & x&<br />
= F . Dieser<br />
Formalismus leitet bereits zur quantenmechanischen Behandlung über.<br />
8.2 Schiefe Ebene<br />
Der einfache Fall der gleichförmig beschleunigten Bewegung kann am ehesten beim freien<br />
Fall oder, allgemeiner, auf einer schiefen Ebene realisiert werden. Der in der Abbildung<br />
dargestellte Körper mit Masse M sollte dabei reibungsfrei (keine Tangentialkräfte an der<br />
Auflagefläche des Körpers) entlang der schiefen Ebene hinuntergleiten. Diese Richtung wird<br />
als x-Richtung angenommen. In diese Richtung wirkt jedoch nicht die volle Gewichtskraft<br />
G = Mg (M Masse des Körpers, g Erdbeschleunigung), sondern nur ein <strong>Teil</strong> davon, welcher<br />
aus der Komponentenzerlegung in die Kraft FN normal zur schiefen Ebene und die Kraft FP<br />
parallel dazu gewonnen wird. Man erhält: FN = Mg cosα<br />
und FP = Mg sinα<br />
.<br />
Die senkrecht zur Ebene wirkende Kraft FN wird durch eine gleich große Kraft FU<br />
kompensiert, welche die Unterstützung der Last durch die Ebene darstellt. Nur die<br />
Parallelkomponente FP ist mit einer Bewegung verbunden und wird durch eine<br />
entsprechende Trägheitskraft kompensiert. Analog zu vorigem Beispiel erhalten wir die<br />
Bewegungsgleichung:<br />
P.Knoll, <strong>Reibung</strong>, Innere <strong>Reibung</strong> 11
<strong>KFU</strong>G, Inst. f. Experimentalphysik, Laborübungen aus Experimentalphysik I<br />
M& x&<br />
= Fp<br />
= Mg sinα<br />
.<br />
Mit den einfachen Randbedingungen t0=0, s0=0 und v0=0 erhalten wir die entsprechenden<br />
Beziehungen:<br />
F<br />
b = & x&<br />
= = g sinα<br />
.<br />
M<br />
Die auftretende Beschleunigung ist somit durch den Faktor sin α geschwächt. Für die<br />
Geschwindigkeit erhält man:<br />
t<br />
F<br />
v(<br />
t)<br />
= x = ∫ xdt<br />
= t = gt sinα<br />
M<br />
& & .<br />
0<br />
Für die Messung am einfachsten zugänglich ist die Bestimmung der Zeit, die für eine<br />
bestimmte Wegstrecke gebraucht wird. Man erhält:<br />
F 2 1 2<br />
s ( t)<br />
= t = t g sinα<br />
.<br />
2M<br />
2<br />
Daraus kann bei bekanntem Winkel der schiefen Ebene die Erdbeschleunigung bestimmt<br />
werden.<br />
Entlang des Weges wird die jeweilige Differenz an potentieller Energie in kinetische Energie<br />
umgesetzt. Ist die Bewegung nicht reibungsfrei, so ist die wirksame Kraft um die<br />
<strong>Reibung</strong>skraft vermindert und die auftretende Beschleunigung kleiner (siehe Abschnitt IV).<br />
Allerdings ist es recht aufwendig in dieser Anordnung eine fast reibungsfreie Bewegung zu<br />
realisieren. Dies würde z.B. den Einsatz einer Luftkissenanordnung erfordern. Viel leichter<br />
läßt sich fast reibungslose Fortbewegung durch das Rollen einer Kugel erreichen.<br />
Das ideale Verhalten von Bewegungsvorgängen wird in der Praxis kaum beobachtbar sein.<br />
Grund dafür ist, dass insbesondere immer auch Kräfte beobachtet werden, welche die<br />
Relativgeschwindigkeit eines Körpers gegenüber seiner unmittelbaren Umgebung reduzieren<br />
wollen. Diese Kräfte werden <strong>Reibung</strong>skräfte genannt. Zunächst sollen die bei einem<br />
Bewegungsvorgang auftretenden Kräfte etwas näher untersucht werden.<br />
8.3 Haft- Gleit- und Rollreibung<br />
Im weiteren sollen einige einfache Beispiele von <strong>Reibung</strong>sarten besprochen werden.<br />
Bewegen sich zwei einander berührende Körper gegeneinander, so üben sie aufeinander eine<br />
<strong>Reibung</strong>skraft aus. Die Haftreibung ist gleich groß und entgegengesetzt gerichtet jener Kraft,<br />
die erforderlich ist, die beiden Körper gegeneinander in Bewegung zu setzen. Die<br />
Gleitreibung ist gleich groß und entgegengesetzt gerichtet der Kraft, die erforderlich ist, die<br />
Körper mit konstanter Geschwindigkeit gegeneinander zu bewegen. Ein spezieller Fall ist<br />
das Abrollen eines Körpers auf einem anderen, wo die Berührungspunkte zueinander keine<br />
Geschwindigkeitsdifferenz haben. Die dabei doch geringe Rollreibung wird etwas später<br />
besprochen. All diese <strong>Reibung</strong>sarten werden als unabhängig von der Geschwindigkeit<br />
behandelt, solange der Geschwindigkeitsunterschied genügend gering ist. Auch wird bei<br />
diesen <strong>Reibung</strong>en davon ausgegangen, dass die auftretende <strong>Reibung</strong>skraft nur in einem<br />
linearen Zusammenhang mit der Belastung (Kraft normal auf die Berührungsfläche) steht<br />
P.Knoll, <strong>Reibung</strong>, Innere <strong>Reibung</strong> 12
<strong>KFU</strong>G, Inst. f. Experimentalphysik, Laborübungen aus Experimentalphysik I<br />
und keine weiteren Größen (z.B. Größe der Berührungsfläche) zunächst eingehen.<br />
Für die Haftreibung RH definiert sich der dimensionslose Haftreibungskoeffizient µH als<br />
Proportionalfaktor zur Normalkomponente FN der Kraft, die beide Körper aneinander<br />
drückt:<br />
R = µ F .<br />
H<br />
H<br />
N<br />
Er hängt von der Art und Oberflächenbeschaffenheit der beiden Körper ab. Zur Bestimmung<br />
dieses Koeffizienten kann ein Körper auf eine schiefe Ebene gelegt und der Neigungswinkel<br />
der Ebene solange vergrößert werden, bis der Körper bei einem bestimmten Winkel α zu<br />
gleiten beginnt. Die Kraftkomponente normal zur schiefen Ebene ergibt sich dann aus der<br />
Gewichtskraft und dem Winkel α:<br />
F N =<br />
M g cosα<br />
wobei M die Masse des Körpers und g die Erdbeschleunigung sind.<br />
Die Haftreibung ist entgegengesetzt gleich der Gewichtskomponente parallel zur schiefen<br />
Ebene:<br />
RH = M g sinα<br />
Für den Haftreibungskoeffizienten ergibt sich somit<br />
RH<br />
sinα<br />
µ H = = = tanα<br />
F cosα<br />
N<br />
Hat sich der Körper einmal in Bewegung gesetzt, gleitet er beschleunigt die um den Winkel<br />
ϕ geneigte Ebene nach unten. Dabei tritt Gleitreibung auf. Die Gleitreibung RG ist für die<br />
<strong>Reibung</strong> zwischen festen Körpern annähernd unabhängig von der Relativgeschwindigkeit<br />
und proportional zur Normalkomponente der Kraft:<br />
R = µ F .<br />
G<br />
G<br />
N<br />
Darin ist µG der Gleitreibungskoeffizient. Es gilt meistens µG< µH.<br />
Der Körper bewegt sich beschleunigt. Die beschleunigende Kraft F ist die Differenz aus der<br />
Parallelkomponente der Gewichtskraft und der Gleitreibung:<br />
= M g sinϕ − R = M g sinϕ<br />
− µ M g cosϕ<br />
F G<br />
G<br />
Der Gleitreibungskoeffizient kann daher durch Messung der wirksamen Beschleunigung<br />
b = F / M = g(sinϕ<br />
− µ G cosϕ<br />
) ermittelt werden:<br />
b<br />
(sinϕ<br />
− )<br />
g<br />
µ G = .<br />
cosϕ<br />
P.Knoll, <strong>Reibung</strong>, Innere <strong>Reibung</strong> 13
<strong>KFU</strong>G, Inst. f. Experimentalphysik, Laborübungen aus Experimentalphysik I<br />
2 s<br />
Die Bestimmung der wirksamen Beschleunigung b = kann aus gemessenen Werten für<br />
2<br />
t<br />
den Weg s und die benötigte Zeit t beim Neigungswinkel ϕ erfolgen. Daraus ergibt sich für<br />
den Gleitreibungskoeffizienten:<br />
2 s<br />
sinϕ − 2<br />
g t<br />
µ G = .<br />
cosϕ<br />
Wird der Versuch in einer V-förmigen Schiene durchgeführt muss berücksichtigt werden,<br />
dass der Körper auf 2 Flächen aufliegt. Wir bezeichnen den Winkel der Flanken gegenüber<br />
der Horizontalen mit β. Es teilt sich die Normalkomponente der Kraft auf die beiden Flächen<br />
zu gleichen <strong>Teil</strong>en (symmetrisches Profil) auf und man erhält:<br />
FN<br />
F N1<br />
= FN<br />
2 =<br />
.<br />
2 + 2 cos 2β<br />
Ebenso tritt die Gleitreibungskraft auf beiden Flächen auf und wirkt in Summe entgegen der<br />
Geschwindigkeit:<br />
FN<br />
R G1<br />
= RG2<br />
= µ G<br />
.<br />
2 + 2 cos 2β<br />
Demnach ergibt sich die beobachtete Beschleunigung:<br />
2 2<br />
s<br />
b = = g(sinϕ<br />
− 2µ<br />
G<br />
t<br />
cosϕ<br />
)<br />
2 + 2 cos2β<br />
und daraus der ermittelte Gleitreibungskoeffizient zu:<br />
µ =<br />
G<br />
2 s<br />
ϕ −<br />
g t<br />
cosϕ<br />
sin 2 β<br />
2 + 2 cos 2<br />
2<br />
.<br />
Für eine 180° - 2β = 90° gewinkelte Schiene unterscheidet sich das Ergebnis gegenüber der<br />
einfachen schiefen Ebene durch einen Faktor 1 . Gleiches gilt für die Haftreibung in einer<br />
2<br />
V-förmigen Schiene.<br />
Rollt ein Körper auf einem anderen ab, so haben die beiden Berührungspunkte<br />
gegeneinander die Geschwindigkeit null; es sollte also keine <strong>Reibung</strong> auftreten. In der<br />
Realität deformieren sich jedoch beide Körper inelastisch, sodass Bewegungsenergie in<br />
Wärme überführt wird, wodurch eine schwache <strong>Reibung</strong> vorliegt. Diese Tatsache wird als<br />
Rollreibung bezeichnet. Strenggenommen liegt durch die endliche Ausdehnung der<br />
Berührungsflächen beim Abrollen auf einer schrägen Flanke auch Gleitreibung vor, welche<br />
jedoch zusammengefasst mit der eigentlichen Rollreibung beschrieben wird. Die Rollreibung<br />
hängt wieder vom Material und der Oberflächenbeschaffenheit des Körpers und der Ebene<br />
ab.<br />
P.Knoll, <strong>Reibung</strong>, Innere <strong>Reibung</strong> 14
<strong>KFU</strong>G, Inst. f. Experimentalphysik, Laborübungen aus Experimentalphysik I<br />
Die Rollbewegung eines Körpers wird durch ein Drehmoment TR = r FR = µRFN gebremst,<br />
worin FN die normal auf die schiefe Ebene wirkende Gewichtskomponente ist. Daraus folgt<br />
die Definition des Rollreibungskoeffizienten µR zu:<br />
FR<br />
R r<br />
F<br />
= µ .<br />
N<br />
Die Rollreibungskraft FR ist dabei in erster Näherung als geschwindigkeitsunabhängig<br />
angenommen worden und führt somit zu einer reduzierten, aber dennoch gleichförmigen,<br />
beschleunigten Bewegung.<br />
Für die Versuche zur <strong>Reibung</strong> zwischen festen Körpern ist anzumerken, dass die<br />
Abhängigkeit von der Oberflächenbeschaffenheit sehr groß ist und dadurch entlang eines<br />
Bewegungsvorganges kaum reproduzierbare Bedingungen zu erreichen sind. Etwas Abhilfe<br />
kann durch eine große Anzahl von Versuchen an verschiedenen Stellen der Oberfläche<br />
erreicht werden, wodurch über die vorhandenen Inhomogenitäten gemittelt wird. Gleiches<br />
gilt auch für den Rollwiderstand, wo allerdings noch erschwerend dazu kommt, dass dieser<br />
sehr klein ist.<br />
8.4 Bewegungsabläufe mit geschwindigkeitsabhängiger <strong>Reibung</strong><br />
<strong>Reibung</strong>sverhältnisse sind besonders schwierig sowohl experimentell als auch theoretisch zu<br />
erfassen. Neben komplizierten Abhängigkeiten von der Geschwindigkeit sind auch vielfach<br />
Abhängigkeiten vom Ort maßgebend, welche a priori nicht bekannt sind. In diesem<br />
Abschnitt sollen die Auswirkungen von <strong>Reibung</strong>skräften auf Bewegungsvorgänge erörtert<br />
werden, welche nur geschwindigkeitsabhängig sind. Im allgemeinen kann davon<br />
ausgegangen werden, dass die <strong>Reibung</strong>skraft in eine Polynomreihe in der Geschwindigkeit<br />
entwickelt werden kann:<br />
F R<br />
= F + F v + F v<br />
0<br />
1<br />
2<br />
2<br />
+ .......<br />
Streng genommen müsste berücksichtigt werden, dass sowohl Kraft als auch<br />
Geschwindigkeit Vektoren sind und daher Tensoren als Koeffizienten auftreten. Wir wollen<br />
uns hier aber nur auf jene Kraftkomponente konzentrieren, welche genau entgegen der<br />
Richtung der Geschwindigkeit wirkt und anderer Kraftkomponenten, wie z.B. Tragflächen<br />
mit Auf- und Abtrieb, sollen unberücksichtigt bleiben.<br />
Die Bewegungsgleichung lässt sich dann sofort mit Hilfe der antreibenden Kraft FA und der<br />
wirkenden Massenträgheit M anschreiben zu:<br />
2<br />
& x&<br />
= Mv&<br />
= F − F = F − F − F v − F v − ...... .<br />
M A R A<br />
0<br />
1<br />
Dies entspricht einem Beschleunigungs-Geschwindigkeits-Diagramm von:<br />
FA<br />
− FR<br />
b(<br />
v)<br />
= =<br />
M<br />
F<br />
A<br />
− F<br />
0<br />
− F1v<br />
− F2v<br />
M<br />
2<br />
2<br />
−<br />
......<br />
Daraus erhält man durch Integration die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit:<br />
P.Knoll, <strong>Reibung</strong>, Innere <strong>Reibung</strong> 15
<strong>KFU</strong>G, Inst. f. Experimentalphysik, Laborübungen aus Experimentalphysik I<br />
v(<br />
t)<br />
t<br />
dv<br />
1 1<br />
∫ = dt = ( t − t0<br />
)<br />
2<br />
F F0<br />
F1v<br />
F2v<br />
..... M M<br />
v A − − − − ∫ .<br />
t<br />
0 0<br />
Liegt nur eine lineare Abhängigkeit der <strong>Reibung</strong> von der Geschwindigkeit vor, so ergibt die<br />
Integration das einfache Ergebnis:<br />
1 ⎛ FA<br />
− F0<br />
− F1v(<br />
t)<br />
⎞ 1<br />
− ln<br />
( t t0<br />
)<br />
F ⎜<br />
= −<br />
1 FA<br />
F0<br />
F1v<br />
⎟<br />
.<br />
⎝ − − 0 ⎠ M<br />
Woraus sich<br />
F<br />
v(<br />
t)<br />
=<br />
⎛<br />
F1<br />
A − F0<br />
FA<br />
− F<br />
−<br />
0<br />
M<br />
− v0<br />
e<br />
F ⎜ −<br />
1 F ⎟<br />
1<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎠<br />
( t−t<br />
)<br />
0<br />
ergibt. Das Beschleunigungs-Zeit-Diagramm kann daraus durch Differenzieren nach der Zeit<br />
gewonnen werden:<br />
b(<br />
t)<br />
F ⎛ F − F<br />
M ⎜<br />
⎝ F1<br />
1<br />
( t−t<br />
) − ( t−t<br />
)<br />
1 − 0<br />
0<br />
1 A 0<br />
M<br />
A 0 1 0 M<br />
= ⎜ − v ⎟e<br />
= − e .<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
F<br />
⎛ F − F<br />
⎜<br />
⎝ M<br />
Die Beschleunigung nimmt somit mit der Zeit exponentiell ab. Die Geschwindigkeit erreicht<br />
dabei nach unendlich langer Zeit den Grenzwert:<br />
v(<br />
)<br />
FA<br />
− F<br />
0<br />
∞ = .<br />
F1<br />
Durch weitere Integration erhält man:<br />
s(<br />
t)<br />
∫<br />
s0<br />
ds =<br />
t<br />
∫<br />
t0<br />
F − ⎛ − ⎞ −<br />
A F0<br />
FA<br />
F0<br />
− ⎜ − v0<br />
⎟<br />
⎟e<br />
F1<br />
⎝ F1<br />
⎠<br />
F1<br />
M<br />
( t−t<br />
)<br />
wodurch sich das Weg-Zeit-Diagramm ergibt:<br />
0<br />
F v<br />
M<br />
P.Knoll, <strong>Reibung</strong>, Innere <strong>Reibung</strong> 16<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
FA<br />
− F0<br />
dt =<br />
F<br />
1<br />
F<br />
( t − t )<br />
F1<br />
F −<br />
⎛ − ⎞⎛<br />
− ( t−t0<br />
) ⎞<br />
A F0<br />
M FA<br />
F0<br />
( ) = + ( − ) + ⎜ − ⎟<br />
⎟⎜<br />
M<br />
s t s<br />
⎟<br />
0 t t0<br />
v0<br />
⎜<br />
e −1<br />
⎟<br />
.<br />
F1<br />
F1<br />
⎝ F1<br />
⎠⎝<br />
⎠<br />
8.5 Innere <strong>Reibung</strong> bei laminarer Strömung<br />
0<br />
+<br />
M ⎛ FA<br />
− F0<br />
⎜<br />
F1<br />
⎝ F1<br />
⎞⎛<br />
− v ⎟<br />
⎟⎜<br />
0 ⎜<br />
e<br />
⎠⎝<br />
Neben der <strong>Reibung</strong> zweier Festkörper besitzt auch die Relativbewegung eines Körpers in<br />
einer Flüssigkeit oder Gas <strong>Reibung</strong>. Ebenso ist auch die Bewegung von zwei Flüssigkeits-<br />
oder Gasschichten zueinander mit <strong>Reibung</strong> behaftet. Diese Art der <strong>Reibung</strong> kann jedoch<br />
nicht mehr als geschwindigkeitsunabhängig angesehen werden. Es treten lineare<br />
Abhängigkeiten von der Geschwindigkeit (laminare Strömung), quadratische<br />
F1<br />
−<br />
M<br />
( t−t<br />
)<br />
0<br />
⎞<br />
−1⎟<br />
⎟<br />
⎠
<strong>KFU</strong>G, Inst. f. Experimentalphysik, Laborübungen aus Experimentalphysik I<br />
(Wirbelbildung) bis hin zu höheren Potenzen auf. Wir wollen uns hier zunächst der<br />
laminaren Strömung widmen, welche eine lineare Geschwindigkeitsabhängigkeit der<br />
<strong>Reibung</strong>skraft aufweist.<br />
Bewegt sich ein fester Körper in einem flüssigen oder gasförmigen Medium erfolgt die<br />
<strong>Reibung</strong> meist nicht an der Grenzschicht zwischen Festkörper und Medium, wo die<br />
Flüssigkeits- oder Gasmoleküle durch Adhäsionskräfte an die Oberfläche des Festkörpers<br />
gebunden sind, sondern zwischen benachbarten Schichten des Mediums selbst (innere<br />
<strong>Reibung</strong>). Dies ist dadurch bedingt, daß die Adhäsionskräfte wesentlich stärker als die<br />
inneren Kräfte im Medium selbst sind, wodurch die <strong>Reibung</strong> durch die inneren Kräfte des<br />
Mediums verursacht wird.<br />
Die <strong>Reibung</strong>skraft, die auf eine mit der Geschwindigkeit ν durch ein Medium bewegte ebene<br />
Fläche Α wirkt, ist proportional der Größe dieser Fläche und dem Geschwindigkeitsgefälle<br />
im Medium:<br />
F R<br />
=<br />
d v<br />
−η<br />
A<br />
d s<br />
worin s den Abstand von der Fläche bezeichnet. Die Proportionalitätskonstante η heißt die<br />
Viskosität oder Zähigkeit des Mediums. Sie ist eine Materialeigenschaft, hängt aber von<br />
äußeren Einflussgrößen (Druck, Temperatur etc.) ab. Die Viskosität bestimmt die<br />
<strong>Reibung</strong>seigenschaften des Mediums, solange die Strömung laminar bleibt, d.h. keine Wirbel<br />
auftreten.<br />
s<br />
v=0<br />
Fläche A<br />
v(s)<br />
In der Abbildung ist zur Verdeutlichung der Definition der Viskosität ein linearer<br />
Geschwindigkeitsgradient gezeichnet. Dies muss nicht immer gegeben sein. Bei der<br />
laminaren Strömung einer Flüssigkeit durch ein Rohr bildet sich z.B. ein parabolisches<br />
Geschwindigkeitsprofil über dem Rohrquerschnitt aus. Stellen wir uns ein Rohr der Länge l<br />
zerlegt in Zylinder mit Radius r vor, so wirkt an jedem dieser Zylinder eine <strong>Reibung</strong>skraft<br />
entlang seiner Oberfläche mit<br />
F R<br />
dv dv 2<br />
( r)<br />
= −ηA<br />
= −η2πrl<br />
= ∆pr<br />
π ,<br />
dr dr<br />
welche als Druck über die Querschnittsfläche angeschrieben werden kann. Daraus erhält man<br />
durch Integration das Geschwindigkeitsprofil unter der Randbedingung, dass die<br />
Geschwindigkeit der Flüssigkeit am Begrenzungsrand r0 des Rohres Null sein muss:<br />
P.Knoll, <strong>Reibung</strong>, Innere <strong>Reibung</strong> 17
<strong>KFU</strong>G, Inst. f. Experimentalphysik, Laborübungen aus Experimentalphysik I<br />
v(<br />
r)<br />
r<br />
∆p<br />
∫ dv = ∫ − rdr<br />
2ηl<br />
0 r0<br />
∆p<br />
2 2<br />
v( r)<br />
= ( r0<br />
− r ) .<br />
4ηl<br />
Dabei transportiert der Zylinder mit Radius r an seiner Oberfläche mit infinitesimaler Dicke<br />
dr das Volumen v( r)<br />
dA = v(<br />
r)<br />
2πrdr<br />
pro Zeiteinheit. Das gesamte durchströmte Volumen<br />
pro Zeit ergibt sich aus der Integration über alle Zylinder innerhalb des Rohrquerschnittes:<br />
V<br />
t<br />
r<br />
2 3 ∆pπ<br />
4<br />
( r r − r ) dr = r = vr π<br />
0<br />
∆pπ<br />
2<br />
= 0<br />
0 0<br />
2ηl<br />
∫ .<br />
8ηl<br />
0<br />
V<br />
Dabei wurde noch eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit v = eingeführt, welche<br />
2<br />
tr0<br />
π<br />
leichter beobachtbar ist. Die für diese mittlere Geschwindigkeit erforderliche Kraft ergibt<br />
sich aus dem Druckunterschied zu:<br />
2<br />
8ηl<br />
V<br />
= ∆pA<br />
= ∆pr0<br />
π = 8πηlv<br />
= .<br />
r t<br />
F 2<br />
0<br />
Diese Kraft ist entgegengesetzt gleich der <strong>Reibung</strong>skraft.<br />
Bewegt sich eine Kugel mit Radius r langsam durch eine unendlich ausgedehnte Flüssigkeit,<br />
so wird sie laminar umströmt. Für die auf die Kugel wirkende <strong>Reibung</strong>skraft kann ein<br />
ähnliches Gesetz gefunden werden, das Stokes´sche Gesetz:<br />
F R<br />
= − 6π<br />
η r v .<br />
Die <strong>Reibung</strong>skraft ist ebenfalls proportional zur Geschwindigkeit und wirkt dieser entgegen.<br />
Wird die Kugel durch eine äußere Kraft beschleunigt, so wächst mit der Geschwindigkeit<br />
auch die <strong>Reibung</strong>skraft. Die Beschleunigung wird dadurch verringert. Sie wird gleich null,<br />
wenn die <strong>Reibung</strong>skraft gleich der äußeren Kraft geworden ist. Dann bewegt sich die Kugel<br />
mit konstanter Geschwindigkeit.<br />
Die Messung der Viskosität einer Flüssigkeit kann nach der sogenannten Kugelfallmethode<br />
erfolgen. Auf eine in einer Flüssigkeit fallende Kugel wirken drei Kräft: die Gewichtskraft<br />
FG, der Auftrieb FA und die <strong>Reibung</strong>skraft FR. Nach einer anfänglichen<br />
Beschleunigungsphase bewegt sich die Kugel mit konstanter Geschwindigkeit ν, sobald die<br />
Summe der Kräfte null geworden ist. Es gilt dann<br />
+ F + F = m g − ρ V g − 6 π η r v =<br />
FG A R<br />
Fl K<br />
0<br />
(m Kugelmasse, g Erdbeschleunigung, Fl<br />
ρ Dichte der Flüssigkeit, K<br />
V Kugelvolumen).<br />
Werden die Kugelmasse, der Kugelradius, die Flüssigkeitsdichte und die konstante<br />
Geschwindigkeit gemessen, kann daraus die Viskosität errechnet werden.<br />
P.Knoll, <strong>Reibung</strong>, Innere <strong>Reibung</strong> 18
<strong>KFU</strong>G, Inst. f. Experimentalphysik, Laborübungen aus Experimentalphysik I<br />
F R<br />
F A<br />
F G<br />
In der Praxis kann die Bedingung einer unendlich ausgedehnten Flüssigkeit nur sehr schlecht<br />
erfüllt werden, wodurch für den endlichen Radius R des Flüssigkeitsgefäßes eine<br />
Korrekturfunktion f(r/R) berücksichtigt werden muss. Das für endlichen Flüssigkeitsradius R<br />
korrigierte Stokes'sche Gesetz lautet dann:<br />
F R<br />
= −<br />
⎛ r ⎞<br />
6 π η r vf ⎜ ⎟ .<br />
⎝ R ⎠<br />
Aus einer Messserie mit verschiedenen Kugelradien kann die Korrekturfunktion bestimmt<br />
r r<br />
werden. In den meisten Fällen kann mit einem einfachen linearen Ansatz f ( ) = 1 + C<br />
R R<br />
bereits gute Übereinstimmung mit dem Experiment erzielt werden. Die Viskosität ergibt sich<br />
daraus zu:<br />
( ρ − ρ ) V g ( ρ − ρ )<br />
K Fl K<br />
K Fl VK<br />
gt<br />
η =<br />
=<br />
= K(<br />
ρ K − ρ Fl )t.<br />
⎛ r ⎞<br />
⎛ r ⎞<br />
6πrvf<br />
⎜ ⎟ 6πrsf<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ R ⎠<br />
⎝ R ⎠<br />
Dabei wurden alle für einen Kugelradius vorgegebenen Größen in einer Gerätekonstanten K<br />
zusammengefasst. Die Viskosität ergibt sich dann direkt aus dem Dichteunterschied<br />
zwischen Kugel und Flüssigkeit (Auftrieb) und der Messzeit t über der Fallstrecke s.<br />
8.6 Allgemeine <strong>Reibung</strong> in Gasen und Flüssigkeiten<br />
Der bisher behandelte Spezialfall laminarer Strömung und die daraus resultierende lineare<br />
Abhängigkeit der <strong>Reibung</strong>skraft von der Geschwindigkeit ist bei höheren Geschwindigkeiten<br />
nicht mehr gegeben. Die laminare Strömung bricht dann teilweise zusammen und es erfolgt<br />
eine Wirbelbildung in der Flüssigkeit oder Gas, welche zusätzliche Energie dem<br />
Bewegungsvorgang entzieht. Man geht davon aus, dass die <strong>Reibung</strong>skraft proportional zur<br />
2<br />
ρ v<br />
kinetischen Energie der Flüssigkeit 2 und der angeströmten Fläche A ist:<br />
F R<br />
2<br />
ρv<br />
= f A.<br />
2<br />
P.Knoll, <strong>Reibung</strong>, Innere <strong>Reibung</strong> 19
<strong>KFU</strong>G, Inst. f. Experimentalphysik, Laborübungen aus Experimentalphysik I<br />
Der Proportionalitätsfaktor f wird Widerstandsbeiwert genannt. Man geht sogar soweit, dass<br />
man für sämtliche <strong>Reibung</strong>sarten auf diese universelle Beziehung zurückgreift und nur den<br />
Widerstandsbeiwert entsprechend anpasst. Für den Fall der Stokes'schen <strong>Reibung</strong> würde man<br />
dann erhalten:<br />
2<br />
ρv<br />
12πηrv<br />
12η<br />
12 12<br />
6πη<br />
rv = f A,<br />
f = = = = .<br />
2 2<br />
2 r πρv<br />
rρv<br />
rρv<br />
Re<br />
η<br />
Dabei wurde die sogenannte Reynolds'sche Zahl Re =<br />
rρv<br />
eingeführt. Die Analyse<br />
η<br />
verschiedenster <strong>Reibung</strong>svorgänge in Flüssigkeiten und Gasen ergibt, dass die dabei<br />
auftretenden Widerstandsbeiwerte als Funktionen dieser Reynolds'schen Zahl geschrieben<br />
werden können. Demnach kann ganz allgemein die <strong>Reibung</strong>skraft ausgedrückt werden:<br />
F R<br />
2<br />
ρv<br />
= f (Re) A .<br />
2<br />
Der Vorteil liegt darin, dass nun bei Variation der Größe eines Objektes (z.B. Modell) durch<br />
Änderung von Zähigkeit, Dichte oder Geschwindigkeit gleiche Reynolds'sche Zahl und<br />
damit gleiche Strömungsbedingungen erreicht werden können. In folgender Tabelle sind für<br />
einige Strömungsvorgänge die entsprechenden Widerstandsbeiwerte als Funktion der<br />
Reynolds'schen Zahl angegeben:<br />
Strömungsvorgang<br />
Widerstandsbeiwert und<br />
Gültigkeitsbereich<br />
laminare Strömung um eine Kugel: (Stokes)<br />
12<br />
f = , Re < 1<br />
Re<br />
laminare Strömung in einem Rohr: (Hagen-Poiseuille) 8<br />
f = , Re1160<br />
4 2 2 Re<br />
angeströmte ebene Platte (Druckwiderstand) f = 1,56<br />
angeströmter Zylinder (Druckwiderstand) f = 0,9<br />
9. Experimentpate: P.Knoll<br />
P.Knoll, <strong>Reibung</strong>, Innere <strong>Reibung</strong> 20