Sprungantworten von Füllstandsregelstrecken - Technik

Fachbereich
Naturwissenschaftliche Technik
Labor „Regelungstechnik“
Prof. Dr. G. Kleemann Standort Ostfriesland
Dipl.-Ing. V. Braun
Dipl.-Ing. A. Härtel Emden, 03.03.2003
Lehrmaterial zum Praktikum Regelungstechnik
Füllstandsstrecken
Prof. Dr.-Ing. Gerhard Kleemann
Telefon: (04921)807-1519 / Telefax: (04921)807-88-1519
e-mail: kleemann@nwt.fho-emden.de
homepage: http://spot.fho-emden.de/hp/kleemann/kleemann.html

FH Emden Regelungstechnik Prof. Dr. G. Kleemann
Fachbereich T Lehrmaterial Praktikum Seite 2 von 9
Sprungantworten von Füllstandsregelstrecken
Das Verhalten von Füllstands-Regelstrecken hängt maßgeblich davon ab, welches
Prinzip für den Abfluß aus der Regelstrecke benutzt wird:
h(t)
mzu(t)
H(t)
Prinzip 1:
Der Abfluß erfolgt über eine Pumpe. Der Volumenstrom am Ausgang ist damit konstant
und nicht von der Höhe des Flüssigkeitsstandes abhängig.
Der Füllstand bleibt nur konstant, wenn der Zulauf und der Ablauf gleich groß sind.
Im Falle einer positiven sprungförmigen Störung des Zulaufs nimmt der Stand linear
mit der Zeit zu. Es kommt zum Überlaufen des Behälters.
Im Falle einer negativen sprungförmigen Störung des Zulaufs nimmt der Stand linear
mit der Zeit ab. Es kommt zum Leerlaufen des Behälters.
Das Überlaufen oder Leerlaufen des Behälters ist auch durch ein größeres Volumen
des Behälters nicht zu verhindern.
Die verschiedenen Fälle sind im Bild 1 dargestellt (notebook: fuell_var1).
material_fuell_03-04-05.doc
Hmax
Ho
mab(t)

FH Emden Regelungstechnik Prof. Dr. G. Kleemann
Fachbereich T Lehrmaterial Praktikum Seite 3 von 9
Bild 1: Sprungantworten einer Füllstandsregelstrecke mit konstantem Ablauf
Es handelt sich um eine Regelstrecke ohne Ausgleich. Sie wird als I-Strecke
bezeichnet.
Prinzip 2:
Der Abfluß ist als freier Ablauf gestaltet und hängt damit von der Höhe des Flüssigkeitsstandes
ab.
Modell für die Berechnung des Abflusses:
• reibungsfreie Strömung ohne Rückstau gegen Atmosphäre
• Querschnitt des Behälters: A
• Querschnitt des Auslaufes: a
• Voraussetzung: a

FH Emden Regelungstechnik Prof. Dr. G. Kleemann
Fachbereich T Lehrmaterial Praktikum Seite 4 von 9
Auslaufgeschwindigkeit nach Toricelli:
v( t)
= 2 • g • H(
t)
(1)
Gesamtmasse der Flüssigkeit im Behälter:
M( t)
= ρ • A • H(
t)
(2)
Ablaufende Masse:
mab( t)
= ρ • a • 2 • g • H(
t)
(3)
Massenbilanz:
•
M( t)
= mzu(
t)
−
Daraus folgt:
ρ •
material_fuell_03-04-05.doc
•
mab(
t)
A • H(
t)
= mzu(
t)
− ρ • a • 2 • g • H(
t)
Mit der Zusammenfassung der konstanten Größen zu k1, k2 und k3 und der Bezeichnung
des Zulaufes mit dem Symbol des Einganges der Regelstrecke y(t) entsteht
die nichtlineare DGL:
d
k1• H(
t)
+ k2
• H(
t)
= k3
• y(
t)
(6)
dt
Prinzip 2, Variante 1: Linearisierung des Streckenverhaltens in der Umgebung
des Arbeitspunktes
Für die Beschreibung des Streckenverhaltens in der Nähe des Betriebspunktes Ho
wird die Wurzelfunktion in eine Taylorreihe entwickelt:
H(
t)
H(
t)
− Ho
= Ho +
(7)
2 • Ho
Aus der Zeichnung ergibt sich:
H(t) = Ho + h(t) (8)
(4)
(5)

FH Emden Regelungstechnik Prof. Dr. G. Kleemann
Fachbereich T Lehrmaterial Praktikum Seite 5 von 9
Die Ableitung von H(t) ergibt:
d
H(
t)
dt
material_fuell_03-04-05.doc
d
d
= [ h(
t)
+ Ho]
= h(
t)
(9)
dt
dt
Die Gleichungen (7), (8) und (9) werden in Gln. (6) eingesetzt und die Konstanten
wieder entsprechend zusammengefasst. Es ergibt sich eine lineare DGL erster Ordnung:
d
c1• h(
t)
+ c2
• h(
t)
= c3
∗ y(
t)
(10)
dt
Diese Gleichung entspricht von der Form her der DGL einer P-T1-Strecke. Die
Sprungantwort verläuft also in der Umgebung des Arbeitspunktes entsprechend der
Lösung der DGL der P-T1-Strecke nach einer e-Funktion.
Bleibt die sprungförmige Störung am Eingang innerhalb von durch die Parameter der
Strecke festgelegten Grenzen, ergibt sich eine neuer Stand unterhalb des maximalen
Füllstandes.
Größere positive Störungen am Eingang führen zum Überlaufen des Behälters. Bei
größeren negativen Störungen läuft der Behälter leer. Das Überlaufen oder Leerlaufen
ist durch einen größeren Durchmesser des Behälters nicht zu verhindern. Das
Erreichen der Grenzen des Regelbereiches dauert nur länger. In Abhängigkeit vom
Füllstand zum Zeitpunkt der Störung kann das Über-oder Leerlaufen durch einen höheren
Behälter verhindert werden.
Die Linearisierung gilt nur in der Umgebung des Arbeitspunktes. Je nach Stand Ho
zu Beginn der Störung kann Überlaufen oder Leerlaufen evtl. nicht durch die Näherungsgleichung
beschrieben werden.
Prinzip 2, Variante 2: Annahme linearen Verhaltens im gesamten Regelbereich
In der Praktikumsanleitung ist ein linearer Zusammenhang zwischen dem Flüssigkeitsstand
H(t) und dem Ablauf nach der folgenden Gleichung (11) angenommen:
Vab / Vab,max = H(t) / Hmax (11)
Es wird also vereinfachend angenommen, das der lineare Zusammenhang im gesamten
Bereich der Regelgröße gültig ist.
Der Zulauf wird nach der Gleichung (12) berechnet:, wobei die Größe y den Öffnungsgrad
des Ventils im Zulauf kennzeichnet (Stellgröße):
Vzu/Vzumax=y(t)/ymax (12)

FH Emden Regelungstechnik Prof. Dr. G. Kleemann
Fachbereich T Lehrmaterial Praktikum Seite 6 von 9
Für die Beispielrechnung werden folgende Annahmen getroffen:
• Der maximale Stand beträgt 5 m. Beim maximalen Stand fließt ein Volumenstrom
von 0,3 m 3 /h ab.
• Beim Stand von 3 m ergibt sich ein Ablauf von 0,18 m 3 /h.
• Es wird ein maximaler Zulauf von 1 m 3 /h angenommen. Das entspricht einem
Öffnungsgrad des Ventils von ymax = 1.
Vzumax 1 m 3 /h
Vabmax 0,3 m 3 /h
Hmax 5 m
Ho 3 m
ymax 1
y(t) 0,18
Bei einem Stand von 3 m und einem Zulauf von 0,18 m 3 /h verändert sich der Stand
nicht. Das entspricht einem Öffnungsgrad des Ventils von y(t) von 0,18.
Mit diesen Annahmen kann die vereinfachte DGL hergeleitet werden:
d
Vzumax
Vabmax
A • H(
t)
= Vzu − Vab = • y(
t)
− • H(
t)
(13)
dt
y max Hmax
d
A • H(
t)
+ ka • H(
t)
= ke • y(
t)
(14)
dt
Zur Stellgröße muss am Eingang der Strecke noch die Störgröße z(t) addiert werde,
so dass die folgende DGL entsteht:
d
A • H(
t)
+ ka • H(
t)
= ke • y(
t)
+ z(
t)
(15)
dt
material_fuell_03-04-05.doc

FH Emden Regelungstechnik Prof. Dr. G. Kleemann
Fachbereich T Lehrmaterial Praktikum Seite 7 von 9
Für die Gleichung (15) ergeben sich folgende Lösungen (s. Bild 2):
Fall 1 (schwarz)
Die Störung beträgt z(t) = 0, der Stand bleibt bei 3 m.
Fall 2 (blau)
Die Störung beträgt z(t) = 0,12 m 3 /h, der Stand steigt an und erreicht asymtotisch
den Maximalwert von 5 m.
Fall 3 (rot, gestrichelt)
Die Störung beträgt z(t) = 0,3 m 3 /h, der Stand steigt an, der Behälter läuft nach 8,5 s
über.
Fall 4 (blau, gestrichelt)
Die Störung beträgt z(t) = –0,15 m 3 /h, der Behälter läuft nicht ganz leer. Es stellt sich
ein Gleichgewicht zwischen Zulauf und Ablauf auf einem niedrigen Wert für den
Stand ein.
Fall 5 (rot)
Die Störung beträgt z(t) = 0,3 m 3 /h, Vergrößerung des Behälters durch Verdoppelung
der Fläche, der Behälter läuft nach 17,0 s über.
Die verschiedenen Fälle sind im Bild 2 dargestellt (notebook: fuell_var2).
Prinzip 2, Variante 3: Lösung der Original - Differentialgleichung
Wenn der Verlauf der Ausgangsgröße nach einer sprungförmigen Störung am Eingang
nicht durch die linearisierte Gleichung, sondern durch die exakte Differentialgleichung
(1) beschrieben wird, ergeben sich von der Kurvenform her die gleichen
Aussagen.
Die verschiedenen Fälle bei sprungförmiger Störung am Eingang (Erreichung eines
stabilen Wertes am Maximalwert, Überlauf, Leerlauf, Überlauf auch bei größerem
Behälter) sind im Bild 3 dargestellt (notebook: fuell-var3).
Die Zahlenwerte sind nicht mit dem linearisierten Fall vergleichbar. Durch die Art der
Linearisierung fließt beim Ruheniveau von ho = 3 m ein anderer Volumenstrom aus,
als mit der exakten Gleichung berechnet wird. Das liegt daran, daß die Linearisierung
nicht nur in der Umgebung des Arbeitspunktes vorgenommen wurde, sondern für
den gesamten Regelbereich.
material_fuell_03-04-05.doc

FH Emden Regelungstechnik Prof. Dr. G. Kleemann
Fachbereich T Lehrmaterial Praktikum Seite 8 von 9
Bild 2:
Sprungantwort einer Füllstandsregelstrecke
Annahme: Ablauf linear abhängig vom Stand im gesamten Regelbereich
Bild 3:
Sprungantwort der Füllstandsregelstrecke
Ablauf abhängig von der Quadratwurzel des Standes
material_fuell_03-04-05.doc

FH Emden Regelungstechnik Prof. Dr. G. Kleemann
Fachbereich T Lehrmaterial Praktikum Seite 9 von 9
Schlußfolgerung:
Regelstrecken werden in der Literatur in proportionale Regelstrecken mit Ausgleich
und integrierende Regelstrecken ohne Ausgleich eingeteilt. Als zusätzliches
Merkmal wird die Ordnung der beschreibenden Differentialgleichung angegeben,
die auf eine entsprechende Anzahl von Zeitverzögerungen hinweist.
Füllstandsregelstrecken werden häufig pauschal den integralen Regelstrecken
zugeordnet.
Wie die Ausführungen zeigen, tritt bei Füllstandsregelstrecken, bei denen der
Ablauf nach dem Prinzip 2 (Variante 1 oder 2) erfolgt, in der Umgebung des Arbeitspunktes
ein Übertragungsverhalten ein, das nach der Differentialgleichung
1. Ordnung dem einer P-T1-Strecke entspricht.
In Abhängigkeit von den Parametern der Strecke und der Größe der Störung
kann ein stabiler Endwert innerhalb des Regelbereiches erreicht werden (Ausgleich).
Der Endwert kann aber auch außerhalb des Regelbereiches liegen (Überlauf
oder Leerlauf, kein Ausgleich).
Es handelt sich also im Normalfall um eine P-T1-Regelstrecke ohne Ausgleich
und nur im Sonderfall um eine P-T1 Strecke mit Ausgleich.
Füllstandsregelstrecken dürfen deshalb nicht pauschal als I-Strecken bezeichnet
werden.
Die Aussagen gelten sinngemäß auch für eine aus zwei hintereinandergeschalteten
Füllstandsregelstrecken gebildete Füllstandsregelstrecke 2. Ordnung.
Literatur:
/1/ Schlitt, H.:
Regelungstechnik
Vogel-Buchverlag Würzburg
material_fuell_03-04-05.doc