Endliche Automaten - Fachbereich 4: HTW Berlin - Hochschule für ...

Endliche Automaten
Endliche Automaten
Horst Hansen
Hochschule für Technik und Wirtschaft Berlin
Studiengang Angewandte Informatik
Wintersemester 2011/12
Horst Hansen Endliche Automaten
Man unterscheidet zwei Arten von endlichen Automaten:
Nichtdeterministische endliche Automaten (NFA)
An verschiedenen Kanten, die vom gleichen Zustand
ausgehen, kann das gleiche Eingabesymbol auftreten. Auch
das Symbol ɛ ist erlaubt.
Deterministische endliche Automaten (DFA)
Sie besitzen für jeden Zustand und jedes Eingabesymbol
genau eine von hier ausgehende Kante. Das Symbol ɛ ist
nicht erlaubt.
Nichtdeterministische und deterministische endliche Automaten
besitzen die gleiche Ausdruckskraft: Sie sind in der Lage, die
gleiche Menge von Sprachen, die regulären Sprachen zu
erkennen, d.h. genau die Sprachen, die durch reguläre Ausdrücke
beschrieben werden können.
Horst Hansen Endliche Automaten
Endliche Automaten
Endliche Automaten dienen zum Erkennen von Zeichenketten. Ihre
Eingabe besteht i.a. aus einer Zeichenkette. Sie gilt als erkannt,
wenn die Abarbeitung der Eingabe durch den Automaten in einem
Endzustand endet. Andernfalls gilt die Eingabe als nicht erkannt.
Endliche Automaten
Horst Hansen Endliche Automaten
Man unterscheidet zwei Arten von endlichen Automaten:
Nichtdeterministische endliche Automaten (NFA)
An verschiedenen Kanten, die vom gleichen Zustand
ausgehen, kann das gleiche Eingabesymbol auftreten. Auch
das Symbol ɛ ist erlaubt.
Deterministische endliche Automaten (DFA)
Sie besitzen für jeden Zustand und jedes Eingabesymbol
genau eine von hier ausgehende Kante. Das Symbol ɛ ist
nicht erlaubt.
Nichtdeterministische und deterministische endliche Automaten
besitzen die gleiche Ausdruckskraft: Sie sind in der Lage, die
gleiche Menge von Sprachen, die regulären Sprachen zu
erkennen, d.h. genau die Sprachen, die durch reguläre Ausdrücke
beschrieben werden können.
Horst Hansen Endliche Automaten

Endliche Automaten
Man unterscheidet zwei Arten von endlichen Automaten:
Nichtdeterministische endliche Automaten (NFA)
An verschiedenen Kanten, die vom gleichen Zustand
ausgehen, kann das gleiche Eingabesymbol auftreten. Auch
das Symbol ɛ ist erlaubt.
Deterministische endliche Automaten (DFA)
Sie besitzen für jeden Zustand und jedes Eingabesymbol
genau eine von hier ausgehende Kante. Das Symbol ɛ ist
nicht erlaubt.
Nichtdeterministische und deterministische endliche Automaten
besitzen die gleiche Ausdruckskraft: Sie sind in der Lage, die
gleiche Menge von Sprachen, die regulären Sprachen zu
erkennen, d.h. genau die Sprachen, die durch reguläre Ausdrücke
beschrieben werden können.
Horst Hansen Endliche Automaten
Definition endlicher Automaten
Definition
Ein endlicher Automat A ist gegeben durch ein
Fünftupel (S, Σ, λ, s0, F ), mit
S ist eine endliche Menge von Zuständen
Σ ist eine endliche Menge von Eingabesymbolen, das
Eingabealphabet
λ ist eine Zustandsübergangsfunktion, die für jedes
Symbol in Σ ∪ ɛ eine Menge von Folgezuständen
angibt
s0 ∈ S ist der Startzustand des Automaten
F ⊂ S ist die Menge der (akzeptierenden, erkennenden)
Zustände oder Endzustände
Horst Hansen Endliche Automaten
Definition endlicher Automaten
Definition
Ein endlicher Automat A ist gegeben durch ein
Fünftupel (S, Σ, λ, s0, F ), mit
S ist eine endliche Menge von Zuständen
Σ ist eine endliche Menge von Eingabesymbolen, das
Eingabealphabet
λ ist eine Zustandsübergangsfunktion, die für jedes
Symbol in Σ ∪ ɛ eine Menge von Folgezuständen
angibt
s0 ∈ S ist der Startzustand des Automaten
F ⊂ S ist die Menge der (akzeptierenden, erkennenden)
Zustände oder Endzustände
Horst Hansen Endliche Automaten
Definition endlicher Automaten
Definition
Ein endlicher Automat A ist gegeben durch ein
Fünftupel (S, Σ, λ, s0, F ), mit
S ist eine endliche Menge von Zuständen
Σ ist eine endliche Menge von Eingabesymbolen, das
Eingabealphabet
λ ist eine Zustandsübergangsfunktion, die für jedes
Symbol in Σ ∪ ɛ eine Menge von Folgezuständen
angibt
s0 ∈ S ist der Startzustand des Automaten
F ⊂ S ist die Menge der (akzeptierenden, erkennenden)
Zustände oder Endzustände
Horst Hansen Endliche Automaten

Definition endlicher Automaten
Definition
Ein endlicher Automat A ist gegeben durch ein
Fünftupel (S, Σ, λ, s0, F ), mit
S ist eine endliche Menge von Zuständen
Σ ist eine endliche Menge von Eingabesymbolen, das
Eingabealphabet
λ ist eine Zustandsübergangsfunktion, die für jedes
Symbol in Σ ∪ ɛ eine Menge von Folgezuständen
angibt
s0 ∈ S ist der Startzustand des Automaten
F ⊂ S ist die Menge der (akzeptierenden, erkennenden)
Zustände oder Endzustände
Horst Hansen Endliche Automaten
Darstellung durch gerichtete Graphen
Endliche Automaten werden häufig mittels gerichteten Graphen
veranschaulicht, deren Knoten die Zustände des Automaten und
deren bezeichnete Kanten die Zustandsübergangsfunktion
beschreiben.
Der folgende Graph
a
s0 s1 s2 s3
b
a b b
stellt einen nichtdeterministischen endlichen Automaten dar, der
die durch den regulären Ausdruck (a | b) ∗ abb definierte Sprache
erkennt.
Horst Hansen Endliche Automaten
Definition endlicher Automaten
Definition
Ein endlicher Automat A ist gegeben durch ein
Fünftupel (S, Σ, λ, s0, F ), mit
S ist eine endliche Menge von Zuständen
Σ ist eine endliche Menge von Eingabesymbolen, das
Eingabealphabet
λ ist eine Zustandsübergangsfunktion, die für jedes
Symbol in Σ ∪ ɛ eine Menge von Folgezuständen
angibt
s0 ∈ S ist der Startzustand des Automaten
F ⊂ S ist die Menge der (akzeptierenden, erkennenden)
Zustände oder Endzustände
Horst Hansen Endliche Automaten
Darstellung durch gerichtete Graphen
Endliche Automaten werden häufig mittels gerichteten Graphen
veranschaulicht, deren Knoten die Zustände des Automaten und
deren bezeichnete Kanten die Zustandsübergangsfunktion
beschreiben.
Der folgende Graph
a
s0 s1 s2 s3
b
a b b
stellt einen nichtdeterministischen endlichen Automaten dar, der
die durch den regulären Ausdruck (a | b) ∗ abb definierte Sprache
erkennt.
Horst Hansen Endliche Automaten

Darstellung durch gerichtete Graphen
Endliche Automaten werden häufig mittels gerichteten Graphen
veranschaulicht, deren Knoten die Zustände des Automaten und
deren bezeichnete Kanten die Zustandsübergangsfunktion
beschreiben.
Der folgende Graph
a
s0 s1 s2 s3
b
a b b
stellt einen nichtdeterministischen endlichen Automaten dar, der
die durch den regulären Ausdruck (a | b) ∗ abb definierte Sprache
erkennt.
Horst Hansen Endliche Automaten
Akzeptieren von Eingabestrings durch Automaten
Definition
Ein endlicher Automat akzeptiert einen Eingabestring genau
dann, wenn es im zugehörigen gerichteten Graphen einen Pfad vom
Startzustand zu einem akzeptierenden Zustand (Endzustand) gibt.
An dem folgenden Bild sehen wir, daß unser Beispielautomat den
Eingabestring aabb akzeptiert:
a a b b
s0 s0 s1 s2 s3
Man beachte, daß verschiedene mit dem gleichen Eingabestring
bezeichnete Pfade zu unterschiedlichen Zuständen führen können:
a a b b
s0 s0 s0 s0 s0
Bei einem nichtdeterministischen endlichen Automaten reicht es,
wenn es einen Pfad gibt, der in einem Endzustand endet!
Horst Hansen Endliche Automaten
Darstellung durch Zustandsübergangstabellen
Eine andere Form der Darstellung von endlichen Automaten sind
Zustandsübergangstabellen. Der nichtdeterministische endliche
Automat von der vorherigen Folie würde so angegeben werden:
Zustand a b ɛ
s0 {s0, s1} {s0} φ
s1 φ {s2} φ
s2 φ {s3} φ
s3 φ φ φ
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Akzeptieren von Eingabestrings durch Automaten
Definition
Ein endlicher Automat akzeptiert einen Eingabestring genau
dann, wenn es im zugehörigen gerichteten Graphen einen Pfad vom
Startzustand zu einem akzeptierenden Zustand (Endzustand) gibt.
An dem folgenden Bild sehen wir, daß unser Beispielautomat den
Eingabestring aabb akzeptiert:
a a b b
s0 s0 s1 s2 s3
Man beachte, daß verschiedene mit dem gleichen Eingabestring
bezeichnete Pfade zu unterschiedlichen Zuständen führen können:
a a b b
s0 s0 s0 s0 s0
Bei einem nichtdeterministischen endlichen Automaten reicht es,
wenn es einen Pfad gibt, der in einem Endzustand endet!
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Akzeptieren von Eingabestrings durch Automaten
Definition
Ein endlicher Automat akzeptiert einen Eingabestring genau
dann, wenn es im zugehörigen gerichteten Graphen einen Pfad vom
Startzustand zu einem akzeptierenden Zustand (Endzustand) gibt.
An dem folgenden Bild sehen wir, daß unser Beispielautomat den
Eingabestring aabb akzeptiert:
a a b b
s0 s0 s1 s2 s3
Man beachte, daß verschiedene mit dem gleichen Eingabestring
bezeichnete Pfade zu unterschiedlichen Zuständen führen können:
a a b b
s0 s0 s0 s0 s0
Bei einem nichtdeterministischen endlichen Automaten reicht es,
wenn es einen Pfad gibt, der in einem Endzustand endet!
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Akzeptieren von Eingabestrings durch Automaten
Definition
Ein endlicher Automat akzeptiert einen Eingabestring genau
dann, wenn es im zugehörigen gerichteten Graphen einen Pfad vom
Startzustand zu einem akzeptierenden Zustand (Endzustand) gibt.
An dem folgenden Bild sehen wir, daß unser Beispielautomat den
Eingabestring aabb akzeptiert:
a a b b
s0 s0 s1 s2 s3
Man beachte, daß verschiedene mit dem gleichen Eingabestring
bezeichnete Pfade zu unterschiedlichen Zuständen führen können:
a a b b
s0 s0 s0 s0 s0
Bei einem nichtdeterministischen endlichen Automaten reicht es,
wenn es einen Pfad gibt, der in einem Endzustand endet!
Horst Hansen Endliche Automaten
Akzeptieren von Eingabestrings durch Automaten
Definition
Ein endlicher Automat akzeptiert einen Eingabestring genau
dann, wenn es im zugehörigen gerichteten Graphen einen Pfad vom
Startzustand zu einem akzeptierenden Zustand (Endzustand) gibt.
An dem folgenden Bild sehen wir, daß unser Beispielautomat den
Eingabestring aabb akzeptiert:
a a b b
s0 s0 s1 s2 s3
Man beachte, daß verschiedene mit dem gleichen Eingabestring
bezeichnete Pfade zu unterschiedlichen Zuständen führen können:
a a b b
s0 s0 s0 s0 s0
Bei einem nichtdeterministischen endlichen Automaten reicht es,
wenn es einen Pfad gibt, der in einem Endzustand endet!
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Deterministischer endlicher Automat
Definition
Ein deterministischer endlicher Automat ist ein endlicher
Automat, bei dem folgende zusätzlichen Bedingungen gelten:
Bei der Eingabe von ɛ erfolgen keine Zustandsübergänge.
Für jeden Zustand s ∈ S und jedes Eingabesymbol a ∈ Σ gibt
es genau einen Folgezustand λ(s, a) ∈ S.
Horst Hansen Endliche Automaten

Deterministischer endlicher Automat
Satz
Zu jedem regulären Ausdruck R läßt sich ein nichtdeterministischer
endlicher Automat A konstruieren, der genau die durch R erzeugte
reguläre Sprache L(R) erkennt.
Satz
Zu jedem nichtdeterministischen endlichen Automaten A läßt sich
ein deterministischer endlicher Automat B konstruieren, der die
gleiche Sprache erkennt wie A, d.h. so daß gilt: L(A) = L(B)
Lexikalische Analyse
Horst Hansen Endliche Automaten
Die heute gebräuchlichen Programme zum Erzeugen von Lexern,
deren Token durch reguläre Ausdrücke beschrieben werden,
arbeiten intern entlang den Konstruktionen, die in den
mathematischen Beweisen der obigen Sätze gemacht werden.
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Deterministischer endlicher Automat
Satz
Zu jedem regulären Ausdruck R läßt sich ein nichtdeterministischer
endlicher Automat A konstruieren, der genau die durch R erzeugte
reguläre Sprache L(R) erkennt.
Satz
Zu jedem nichtdeterministischen endlichen Automaten A läßt sich
ein deterministischer endlicher Automat B konstruieren, der die
gleiche Sprache erkennt wie A, d.h. so daß gilt: L(A) = L(B)
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