Komplexitaet-WS-2010.. - Parallele Systeme

76 Vorlesungsskript von E. Best / Stand: 17. Januar 2011
und so, dass diese Abbildung g: X ∗ → Σ ∗ eine polynomielle Reduktion ist. Dann folgt, da L aus NP
beliebig war, dass CNF−SAT NP-vollständig ist.
Konstruktion von g(w) aus w:
Sei Q = {q1,...,qs} (d.h., es gibt s Zustände) mit q1 = q0 (Anfangszustand) und qs = qa (akzeptierender
Zustand). Sei Γ = {c1,...,cγ} (d.h., esgibt γ Bandzeichen)und essei c1 = . Diese Festlegungenwerden
getroffen, damit die speziellen Zustände (Anfangszustand und akzeptierender Zustand) und das spezielle
Bandzeichen durch ihre Indizes gekennzeichnet werden können: Index 1 für den Anfangszustand und
für das Blankzeichen, Index s für den akzeptierenden Zustand. O.B.d.A. sei
δ ⊆ (Q×Γ)×(Q×Γ×{−1,0,+1})
mit δ(qa,c) = δ(qr,c) = ∅ für alle c ∈ Γ, wobei −1,0,+1 für L,N,R (Kopfbewegungen) stehen.
Wir erweitern δ, indem wir jedes δ(qa,c) = ∅ in δ(qa,c) = {(qa,c,0)} und jedes δ(qr,c) = ∅ in δ(qr,c) =
{(qr,c,0)} abwandeln. Auf diese Weise tritt die leere Menge ∅ nie als Bild von δ auf. Da das Ende
einer Berechnung durch δ(qa,c) = ∅ bestimmt wurde, wird durch die Erweiterung eine niemals haltende
Turingmaschine M ′ definiert, die jedoch die Arbeitsweise von M genau widerspiegelt. Wenn M, angesetzt
auf w, im Zustand qa anhielt, so erreicht M ′ nach p(n) (mit n = |w|) Schritten eine Konfiguration u1qau2
und M ′ behält diese Konfiguration unendlich lange bei; das Umgekehrte gilt auch. Also:
w ∈ L ⇔ M, angesetzt auf w, ist nach ≤ p(|w|) Schritten in einer Konfiguration u1qau2
⇔ M ′ durchläuft eine Folge k1,k2,...,k p(n) von Konfigurationen mit
(i) k1 = q1w ist Anfangskonfiguration;
(ii) ki+1 ist Folgekonfiguration von ki für alle i ≥ 1;
(iii) n = |w| und k p(n) enthält den Endzustand qa.
Wir erreichen durch diese künstliche Erweiterung, dass alle Konfigurationenfolgen o.B.d.A. gleich lang
(Länge p(n) für ein Eingabewort der Länge n) sind.
Die Übergangsrelation δ habe m Elemente und es sei δ = {tupel 1 ,tupel 2 ,...,tupel m } irgend eine feste
Durchnummerierung von δ.
Sei w ∈ X ∗ mit |w| = n gegeben, w = cj1cj2 ...cjn. Die Formel g(w) wird mit folgenden Booleschen
Variablen aufgebaut:
• zt,k , 1 ≤ t ≤ p(n), 1 ≤ k ≤ s.
zt,k = true bedeutet: M ′ ist zum Zeitpunkt t im Zustand qk.
• at,i,j , 1 ≤ t ≤ p(n), −p(n) ≤ i ≤ p(n), 1 ≤ j ≤ γ.
at,i,j = true bedeutet: Zum Zeitpunkt t trägt das Feld i den Inhalt cj.
• st,i , 1 ≤ t ≤ p(n), −p(n) ≤ i ≤ p(n).
st,i = true bedeutet: zum Zeitpunkt t befindet sich der Lese/Schreibkopf von M ′ auf dem Feld i.
• bt,l , 1 ≤ t ≤ p(n)−1, 1 ≤ l ≤ m.
bt,l = true bedeutet: Für die Überführung vom Zeitpunkt t zum Zeitpunkt t+1 wird das lte Tupel
von δ benutzt.