Abschlusseigenschaften - Vincent-wolowski.net

Abschlusseigenschaften
Abschlusseigenschaft:
Schnitt Vereinigung Komplement Produkt Stern
Typ3 Ja Ja Ja Ja Ja
Det. ktf. Nein Nein Ja Nein Nein
Typ2 Nein Ja Nein Ja Ja
Typ1 Ja Ja Ja Ja Ja
Typ0 Ja Ja Nein Ja Ja
Wortproblem:
Wortproblem Leerheitsproblem Äquivalenzproblem Schnittproblem
Typ3 Ja Ja Ja Ja
Det. ktf. Ja Ja Ja Nein
Typ2 Ja Ja Nein Nein
Typ1 Ja Nein Nein Nein
Typ0 Nein Nein Nein Nein
Abgeschlossenheit regulärer Mengen:
Satz
Die regulären Mengen sind abgeschlossen unter Vereinigung, Kleenscher Hüllenbildung und
Konkatenation.
Satz
Die Klasse der regulären Mengen ist abgeschlossen unter Komplementbildung.
Satz
Die regulären Mengen sind abgeschlossen unter Schnittbildung.
Satz
Die Klasse der regulären Mengen ist unter Substitution abgeschlossen.
Satz
Die Klasse der regulären Mengen ist unter Homomorphismus und inversem
Homomorphismus abgeschlossen.
Satz
Die Klasse der regulären Mengen ist unter Quotientenbildung mit beliebigen Mengen
abgeschlossen.
Abgeschlossenheit bei kontextfreien Sprachen:
Satz
Die kontextfreien Sprache sind abgeschlossen unter Vereinigung, Kleenscher Hüllenbildung
und Konkatenation.
Satz
Die kontextfreien Sprachen sind abgeschlossen unter Substitution.
Satz
Die kontextfreien Sprachen sind abgeschlossen unter Homomorphismen.
Satz
Die kontextfreien Sprachen sind abgeschlossen unter inversen Homomorphismen.
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Satz
Die kontextfreien Sprachen sind abgeschlossen unter Schnittbildung.
Satz
Die kontextfreien Sprachen sind nicht abgeschlossen unter Komplementbildung.
Satz
Ist L eine kontextfreie Sprache und R eine reguläre Menge, so ist L∩R eine kontextfreie
Sprache.
Rekursive Sprachen / Rekursiv aufzählbare Sprachen:
Vereinigung
Die Klasse der rekursiven Sprachen ist gegen die (endliche) Vereinigung abgeschlossen,
d.h. mit L1 und L2 ist auch die Vereinigung von L1 und L2 rekursiv. Eine analoge Aussage gilt
für die rekursiv aufzählbaren Sprachen. Es gibt hierfür zwei Beweisstrategien.
Die erste besteht in der Hintereinanderausführung der Entscheidungsalgorithmen für L1 und
L2. Eine Eingabe wird akzeptiert, wenn sie für mindestens eine der beiden Sprachen
akzeptiert wird. Diese Beweisstrategie funktioniert für die Klasse der rekursiven Sprachen,
aber nicht für die Klasse der rekursiv aufzählbaren Sprachen. Ein Wort w kann in L2, aber
nicht in L1 sein. Der Algorithmus, der L1 semi-entscheidet, stoppt auf w vielleicht nicht, und
dann wird w nicht akzeptiert, obwohl w in L1∪L2 ist.
Die zweite Beweisstrategie läßt die Entscheidungsalgorithmen für L1 und L2 parallel laufen,
für Turingmaschinen z.B. auf zwei unabhängigen Bändern. Wenn einer der beiden
Algorithmen die Eingabe w akzeptiert, dann wird w auch für die Vereinigung akzeptiert.
Diese Beweisstrategie arbeitet sowohl für die Klasse der rekursiven als auch für die Klasse
der rekursiv aufzählbaren Sprachen korrekt. Falls w ∈ L1∪L2 ist, muß einer der beiden
Entscheidungsalgorithmen w in endlicher Zeit akzeptieren.
Durchschnitt
Sowohl die Klasse der rekursiven als auch die Klasse der rekursiv aufzählbaren Sprachen ist
gegen (endliche) Durchschnittsbildung abgeschlossen. Die für die Vereinigung
beschriebenen Beweisstrategien müssen hier insofern geändert werden, daß erst akzeptiert
wird, wenn beide Entscheidungsalgorithmen akzeptiert haben. Für die Durchschnittsbildung
sind beide Beweisstrategien für beide Sprachklassen erfolgreich. Falls w ∈ L1∪L2, müssen
auch im Fall der rekursiv aufzählbaren Sprachen beide Algorithmen in endlicher Zeit
akzeptieren.
Komplement
Die Klasse der rekursiven Sprachen ist gegen Komplementbildung abgeschlossen, d.h. mit L
ist auch das Komplement L , die Sprache aller Wörter, die nicht in L liegen, rekursiv. Die
Beweisstrategie sieht vor, den Entscheidungsalgorithmus für L laufen zu lassen und die
Entscheidung zu negieren. Diese Beweisstrategie versagt für die Klasse der rekursiv
aufzählbaren Sprachen, da der Algorithmus, der L semi-entscheidet, nicht immer eine
Entscheidung fällt und nicht immer stoppt.
Falls jedoch L und L rekursiv aufzählbar sind, können die Algorithmen, die L und L semientscheiden,
parallel laufen. Ein Algorithmus hält in endlicher Zeit, und dann ist bekannt, ob
w ∈ L oder w ∈ L , d.h. w ∉ L, ist. Also ist dann L sogar rekursiv. Die Klasse der rekursiv
aufzählbaren Sprachen ist nicht gegen Komplementbildung abgeschlossen.
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Reguläre Sprachen / Endliche Automaten:
Komplementbildung
Aus einem deterministischen Automaten für L erhalten wir offensichtlich einen
deterministischen Automaten für die Komplementsprache L , wenn wir akzeptierende
Zustände zu nicht akzeptierende Zuständen erklären und umgekehrt. Dies ist in linearer Zeit
ohne Größenzuwachs möglich. Der entstehende Automat ist minimal, wenn der gegebene
Automat minimal ist. Sonst könnten wird durch eine zweite Komplementbildung auf dem
minimalen Automaten für L einen kleineren Automaten für L erhalten.
Dieses einfache Verfahren ist für nichtdeterministische Automaten nicht anwendbar. Für ein
Wort w aus der Sprache L kann es akzeptierende und nicht akzeptierende Rechenwege
geben. Nach dem Austausch akzeptierender und nicht akzeptierender Zustände wird w
fälschlicherweise weiterhin akzeptiert.
Negationen sind für nichtdeterministische Modelle problematisch. Dem Nichtdeterminismus
entspricht aus Logik-orientierter Sicht ein Existenzquantor. Nach Negation und Anwendung
der de Morgan Regeln wird daraus ein Allquantor, der im allgemeinen nicht durch einen
Existenzquantor ersetzt werden kann. So sind die Komplemente NP-vollständiger Sprachen
vermutlich nicht in NP enthalten.
Wir können nicht ausschließen, daß Komplementbildung bei nichtdeterministischen
Automaten zu einem exponentiellen Größenzuwachs führt.
Vereinigung
Bereits bei der Behandlung rekursiver Sprachen haben wir zwei Techniken kennengelernt,
um Maschinen für die Vereinigung zweier durch Maschinen beschriebener Sprachen zu
entwerfen. Die eine Methode, die Maschine nacheinander zu simulieren, kommt für endliche
Automaten definitionsgemäß nicht in Frage. Die andere Methode sieht eine parallele
(gleichzeitige) Simulation beider Maschinen vor. Dies ist für endliche Automaten durch
Produktbildung leicht möglich. Als Zustandsmenge wird das Kreuzprodukt Q1 x Q2 der
Zustandsmengen der beiden Automaten genommen. In den beiden Komponenten der neuen
Zustandsmenge werden die beiden Automaten unabhängig voneinander simuliert. Eine
Eingabe wird am Ende des Rechenweges akzeptiert, wenn mindestens einer der
Teilautomaten akzeptiert. Diese Konstruktion ist für deterministische und für
nichtdeterministische Automaten möglich (Produktautomat).
Bei deterministischen Automaten kann im worst case der Größenzuwachs nicht vermieden
werden. Anders ist die Situation bei nichtdeterministischen Automaten. Formal gehört ein
Wort w zu L1∪L2, wenn ein i ∈ {1,2} existiert, so daß w ∈ Li ist. Von nichtdeterministischen
Automaten kann ausgenutzt werden, daß Vereinigungen über Existenzquantoren definiert
sind. Wir benutzen disjunkte Kopien der Automaten für L1 und L2 und einen zusätzlichen
Anfangszustand q0. Für q0 gibt es die ε-Bewegungen zu den Anfangszuständen der beiden
gegebenen Automaten A1 und A2. Der neue Automat rät also nichtdeterministisch, ob w in L1
oder L2 liegt und verifiziert dies mit dem Automaten A1 oder A2. Diese Konstruktion ist
wesentlich effizienter als die Produktkonstruktion.
Durchschnitt
Die Produktkonstruktion kann angewandt werden mit der einzigen Änderung, daß nun beide
Automaten akzeptieren müssen. Da der Durchschnitt über einen Allquantor definiert ist und
nicht über einen Existenzquantor, gibt es bei nichtdeterministischen Automaten keinen Trick
wie bei der Vereinigung.
Konkatenation
Die bisher behandelten Operationen Komplementbildung, Vereinigung und Durchschnitt
bilden die grundlegenden Operationen auf Mengen und daher auch auf Sprachen (=
Wortmengen). Die Operationen Konkatenation, Kleenescher Abschluß und Substitution
haben ihren Ursprung in der Programmierung.
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Die Konkatenation L1L2 zweier Sprachen L1 und L2 enthält alle Wörter vw mit v ∈ L1 und w ∈
L2. Anders ausgedrückt: Ein Wort z = z1....zn gehört genau dann zu L1L2, wenn ein i existiert,
so daß v = z1...zi ∈ L1 und w = zi+1...zn ∈ L2 ist. Für i = 0 ist v = ε, und für i = n ist w = ε.
Nichtdeterministische Automaten können die richtige Trennstelle raten. Daher ist es
naheliegend, einen nichtdeterministischen Automaten für L1L2 zu entwerfen und diesen bei
Bedarf in einen deterministischen Automaten umzuwandeln.
Die folgende Konstruktion arbeitet korrekt unabhängig davon, ob L1 und L2 durch
deterministische oder nichtdeterministische Automaten A1 und A2 gegeben sind. Wieder
werden disjunkte Kopien von A1 und A2 benutzt. Der Anfangszustand in A1 wird
Anfangszustand des neuen Automaten. Von jedem akzeptierenden Zustand in A1 führt eine
ε-Bewegung zum Anfangszustand von A2. Immer wenn der Wortanfang zu L1 gehört, kann
der Automat nichtdeterministisch entscheiden, ob er in A1 weitermacht oder prüft, ob das
Restwort zu L2 gehört. Damit folgt sofort, daß der neue Automat L1L2 akzeptiert, wenn nur die
akzeptierenden Zustände von A2 akzeptierend bleiben.
Kleenescher Abschluß
Mit L² bezeichnen wir die Konkatenation von L = L 1 mit sich selbst und mit L i die
Konkatenation von L i-1 und L. Damit enthält L i genau die Wörter, die sich so in i Teile
zerlegen lassen, daß alle Teile zu L gehören. Der positive Kleenesche Abschluß L + besteht
aus der Vereinigung aller L i , i ≥ 1. Wenn wir testen wollen, ob ein Wort zu L + gehört, müssen
wir ein passendes i und eine passende Zerlegung des Wortes „raten“. Eine effiziente
Konstruktion deterministischer Automaten scheint also ausgeschlossen zu sein, und wir
gehen den Umweg über nichtdeterministische Automaten. Es genügt eine Kopie eines
Automaten für L, in der wir in allen akzeptierenden Zuständen eine ε-Bewegung zum
Anfangszustand erlauben. Immer wenn eine derartige ε-Bewegung ausgeführt wird, ist ein
Teilwort aus L gelesen. Es werden also genau die Wörter aus L + akzeptiert.
Der eigentliche Kleenesche Abschluß L* von L besteht aus der Vereinigung aller L i , i ≥ 1,
wobei L 0 nur das leere Wort enthält. Da L* die Vereinigung von L + und {ε} ist, erhalten wir
auch leicht einen nichtdeterministischen Automaten für L*.
Die wichtigsten Operationen für reguläre Sprachen:
Die wichtigsten Operationen für reguläre Sprachen sind: Vereinigung, Konkatenation und
Kleenescher Abschluß, um aus „ganz einfachen“ regulären Sprachen alle regulären
Sprachen zu erhalten. Die Operationen Vereinigung, Konkatenation und Kleenescher
Abschluß sind implizit nichtdeterministisch definiert, da die Definitionen einen
Existenzquantor enthalten. Bei nichtdeterministischen Automaten ist der entstehende
Automat um höchstens einen Zustand größer als die gegebenen Automaten zusammen.
Nichtdeterministisch kontextfreie Sprachen:
Vereinigung
Es seien G1 und G2 kontextfreie Grammatiken für L1 und L2, die auf disjunkten
Variablenmengen definiert sind. Wir wollen eine kontextfreie Grammatik für die Vereinigung
von L1 und L2 entwerfen. Dies ist ganz einfach. Wir benutzen ein neues Startsymbol S und
die beiden neuen Ableitungsregeln S → S1 und S → S2. Im ersten Ableitungsschritt
entscheiden wir also nichtdeterministisch, ob wir ein Wort aus L1 oder aus L2 erzeugen
wollen. Auf ganz natürliche Weise erhalten wir zwei Kettenregeln. Wenn wir diese ersetzen,
erhalten wir alle Regeln S → r, für die S1 → r oder S2 → r eine Ableitungsregel in G1 oder G2
ist. Die Klasse der kontextfreien Sprachen ist gegen Vereinigung abgeschlossen.
Kontextfreie Grammatiken für die Vereinigung zweier kontextfreier Sprachen lassen sich
effizient konstruieren und sind kaum größer als die Grammatiken für L1 und L2 zusammen.
Konkatenation
Der Entwurf einer kontextfreien Grammatik für L1L2 ist recht einfach. Wir benutzen ein neues
Startsymbol S, das sich nur nach SS ableiten läßt. Die Klasse kontextfreier Sprachen ist
gegen Konkatenation abgeschlossen. Kontextfreie Grammatiken für die Konkatenation
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zweier kontextfreier Sprachen lassen sich effizient konstruieren und sind kaum größer als die
Grammatiken für L1 und L2 zusammen.
Kleenescher Abschluß
Aufgrund der Verwandtschaft mit der Konkatenation ist der folgende Entwurf einer
kontextfreien Grammatik für L1* nicht überraschend. Wir benutzen ein neues Startsymbol S
und die neuen Ableitungsregeln S → ε, S → SS und S → S1. Die Klasse kontextfreier
Sprachen ist gegen Kleenescher Abschluß abgeschlossen. Kontextfreie Grammatiken für
den Kleenescher Abschluß zweier kontextfreier Sprachen lassen sich effizient konstruieren
und sind kaum größer als die Grammatiken für L1.
Durchschnitt
Die Klasse kontextfreier Sprachen ist nicht gegen Durchschnittsbildung abgeschlossen.
Komplement
Wenn eine Sprachklasse gegen Vereinigung und gegen Komplementbildung abgeschlossen
ist, dann auch gegen Durchschnittsbildung (de Morgan Regel). Also ist die Klasse
kontextfreier Sprachen nicht gegen Komplementbildung abgeschlossen.
Zusammenfassung:
Für Vereinigung, Konkatenation, Kleeneschen Abschluß und Substitution lassen sich
kontextfreie Grammatiken für die neu gebildeten Sprachen sehr effizient aus kontextfreien
Grammatiken für die gegebenen Sprachen konstruieren. Die Klasse der kontextfreien
Sprachen ist nicht gegen Durchschnitt und Komplementbildung abgeschlossen.
Durchschnitt einer kontextfreien und einer regulären Sprache
Wir lassen einen endlichen Automaten und einen Kellerautomaten parallel laufen und
interpretieren das ganze als Kellerautomat.
Deterministisch kontextfreie Sprachen:
Die Klasse der deterministisch kontextfreien Sprachen ist nicht abgeschlossen gegen
Durchschnitt, Vereinigung, Homomorphismus, Konkatenation und Kleeneschen Abschluß.
Die Klasse der deterministisch kontextfreien Sprachen ist nur abgeschlossen gegen
Komplementbildung, inversen Homomorphismus und den Durchschnitt mit regulären
Sprachen.
Definition von Mengenoperation:
Vereinigung
A ∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B } mit A ∪ B ≠ ∅
∀x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B
Für alle x aus A oder B gilt, daß x ∈ A oder x ∈ B ist.
Durchschnitt
A ∩ B = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B } mit A ∩ B ≠ ∅
∃x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B
Es existiert ein x aus A und B, für das gilt, daß x ∈ A und x ∈ B ist.
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