Kurvenscharen als Flächen – Visualisierungen mit MuPad

Kurvenscharen als Flächen – Visualisierungen mit MuPad
Jörg MEYER, Hameln
Parametrisie rte Kurvenscharen sind ein Standardthema des Analysisunterrichts. Fasst man die
Funktionsvorschrift z= f y(x)
als z= f(x, y) auf, ist man bei der Gleichung einer Fläche. Dass
sich deren Untersuchung lohnen kann, soll in diesem Beitrag anhand des Beispiels
y
3
f (x) = x + y⋅ x deutlich werden.
Diese kubische Fläche gibt Anlass zum erneuten Studium bereits bekannter Objekte, motiviert
aber auch zur näheren Untersuchung neuer Objekte.
Als CAS wurde MuPad Pro 3.1 verwendet, und zwar wegen der guten dynamischen Graphik, bei
der man viel mehr als mit einem statischen Bild sieht. Selbst Realmodelle sind solchen
Visualisierungen deutlich unterlegen. Diese Vorteile werden allerdings in der Druckversion
überhaupt nicht deutlich.
Zielgruppe sind Leistungskurs-Schüler (bei einfacheren Flächen wie bei z= x⋅ y sogar
Grundkurs-Schüler), aber auch Studenten.
1. Gestalt der Fläche Zur globalen Erzeugung dieser Fläche gibt es in MuPad 3 Möglichkeiten
(explizite Gleichung, implizite Gleichung, Angabe des allgemeinen Punktes), von denen wir hier
die dritte verwenden:
xx:=1.5: yy:=1.5: zz:=1.5:
zterm:=x^3+x*y:
Fl:= plot::Surface([x, y, zterm], x=-xx..xx, y=-yy..yy):
Fl::Color:=RGB::Blue: Fl::ViewingBoxZRange=-zz..zz:
plot(Fl)
65

66
Die Fläche hat offensichtlich eine Falte.
2. Tomographie Zur näheren Untersuchung der Flächengestalt ist es sinnvoll, die Fläche mit
Ebenen zu schneiden und die Schnittkurven zu betrachten. Hier ist es ausreichend, sich auf
Ebenen parallel zu den Koordinatenebenen zu beschränken.
2.1 Tomographie parallel zur y–z–Koordinatenebene: Schneidet man die Fläche mit der zu
x= a gehörigen Ebene, so ergibt sich die Schnittkurve mit dem allgemeinen Punkt
⎛ a ⎞
⎟
⎛a ⎞
⎟ ⎛⎞ 0
⎛
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎛⎞ 0
⎜ ⎟
y
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟ ⎟= ⎜0 ⎟ ⎟+ y⋅⎜1 ⎟
⎟ ⎜
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
. Die Fläche besteht somit aus den Geraden g
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a : X= ⎜ 0⎟ y ⎜1
⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟ + ⋅⎜
⎟ ⎟.
Aus
3 ⎟ ⎜ 3⎟
⎜
a a y⎟ a ⎟ ⎜⎜ a ⎟
⎜
⎜⎝⎜ + ⋅ ⎠ ⎟ ⎝⎜ ⎜ ⎠ ⎟ ⎝⎠
⎜ ⎟ ⎟
3⎟
⎜
a ⎟ ⎜a ⎟
⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟
⎝⎠ ⎟
diesem Grunde lässt sich die Fläche durch Fäden veranschaulichen, die senkrecht zur z-Achse
verlaufen.
Faden := a->plot::Curve3d([a, y, a^3+a*y], y=-yy..yy, LineWidth=1.4,
Color=RGB::Red): plot(Fl, Faden(1), Faden(0), Faden(-0.5))
2.2 Tomographie parallel zur z-x-Koordinatenebene: Die Schnittkurve mit der zu y= b
gehörigen Ebene hat die Gleichung
3
z= x + b⋅ x.

2.3 Tomographie parallel zur x–y-Koordinatenebene: Die Schnittkurve mit der zu z= c
c 2
gehörigen Ebene hat die Gleichung y= − x . Asymptoten sind die y–Achse und die
x
umgekehrte Normalparabel.
Hyp := c->plot::Curve3d([x, c/x-x^2, c], x=-xx..xx, LineWidth=1.4,
Color=RGB::Red):
plot(Fl, Hyp(-.2))
3. Symmetrie zum Koordinatensystem Die Faltenfläche ist nur zur y-Achse symmetrisch.
4. Tangentialebenen
4.1 Gleichung: Unter welchen Umständen ist eine Gerade durch den Flächenpunkt
⎛ a ⎞
⎜
⎟
P= ⎜ b ⎟
⎜ ⎟
eine Tangente? Eine solche Gerade hat den allgemeinen Punkt
⎜ ⎟
⎜ 3
⎝a + a⋅b⎠⎟ ⎟
⎛u⎞ ⎛ a t u ⎞
⎜ ⎜ + ⋅ ⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
X(t) = P+ t⋅ ⎜ v
⎟ ⎜
⎜ ⎟ b t v ⎟
⎟= ⎜ + ⋅ ⎟
. Damit sie Tangente ist, muss die Schnittgleichung
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜w ⎟ ⎝ ⎠
⎜ 3
⎟
⎝a + a⋅ b+ t⋅w⎠⎟ ⎟
3 3
( ) ( ) ( )
a+ t⋅ u + a+ t⋅u ⋅ b+ t⋅ v = a + a⋅ b+ t⋅ w die doppelte Lösung t = 0 haben.
Wir können u = 0 ausschließen, da dies w= a⋅ v zur Folge hat; wir hätten dann eine schon
bekannte ganz innerhalb der Fläche verlaufende Faden–Gerade.
2
Die Lösung t = 0 ist doppelt, falls w= 3⋅a ⋅ u+ a⋅ v+ b⋅ u ist. Dies lässt sich schreiben als
⎛ 2
u⎞ ⎛3⋅ a + b⎞
⎟
⎛
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a ⎞
⎜
⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜ v
⎟⎟⋅ ⎜ a ⎟
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= 0 (Uminterpretation!). Das heißt: Alle Tangenten durch P= ⎜ b ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
liegen
⎜w ⎟
⎝ ⎠⎟ ⎟ ⎜ −1
⎟
⎜
⎜⎝ ⎠ ⎟
⎜ ⎟
3
⎟
⎜ ⎝a + a⋅b⎠⎟ ⎟
⎛ 2
3a b⎞
⎜ ⋅ +
⎜
⎟
⎜ ⎟ 3
in einer Ebene mit der Gleichung X⋅ ⎜ a ⎟
⎜ ⎟
= 2⋅ a + a⋅b. Dies ist die Tangentialebene zu P.
⎜ ⎟
⎜ ⎜⎝ −1
⎠ ⎟
67

68
Sie durchsetzt die Fläche!
TF := (a, b)->plot::Surface([a+u, b+v, a^3+a*b+u*(3*a^2+b)+v*a], u=-
1.5..1.5, v=-1.5..1.5, Color=RGB::Red):
a:=0: b:=0: plot(Fl, TF(a, b)): delete(a): delete(b)
4.2 Schnitt der Fläche mit einer Tangentialebene: Offensichtlich ist die Schnittkurve von
Tangentialebene und Fläche recht interessant: Die Schnittgleichung ist
2 2
x−a ⋅ y+ x + a⋅x−2⋅a − b = 0.
( ) ( )
Fall 1: x= a.
Hier ergibt sich die schon bekannte Faden–Gerade g a : z= a + a⋅ y.
2 2
Fall 2: y= −x −a⋅ x+ 2⋅ a + b.
Ein allgemeiner Punkt der Schnittkurve hat die Form
⎛ x ⎞
⎜ 2 2 ⎟
⎜ −x −a⋅ x+ 2⋅ a + b ⎟.
Es handelt sich also um eine Parabel.
⎜ 2 2 ⎟
−a⋅ x + 2⋅a ⋅ x+ b⋅x⎟ ⎝ ⎠
3

Faden := a->plot::Curve3d([a, y, a^3+a*y], y=-yy..2*yy, LineWidth=1.4,
Color=RGB::White):
Parabel:= (a, b)->plot::Curve3d([x, 2*a^2-a*x-x^2+b, 2*a^2*xa*x^2+b*x],
x=-xx..xx, LineWidth=1.4, Color=RGB::White):
a:=.2: b:=1: plot(Fl, TF(a, b), Faden(a), Parabel(a, b)): delete(a):
delete(b)
5. Schmiegetangenten Wir hatten die Schnittgleichung zwischen einer beliebigen Geraden und
2
der Ebene untersucht. Für w= 3⋅a ⋅ u+ a⋅ v+ b⋅ u ist die Gerade eine Tangente.
Sollte außerdem 3⋅au ⋅ + v= 0sein,
so hat die Gerade mit der Fläche sogar einen dreifachen
Schnittpunkt. Eine solche Tangente heiße Schmiegetangente. Die Schmiegetangente zu
⎛ a ⎞
⎟
⎛
⎜ ⎟
a ⎞
⎜
⎜ ⎛ 1 ⎞
⎟
P= ⎜
⎜ ⎟
⎜ b ⎟
⎟ ⎜
⎟
⎜ ⎟
hat also den allgemeinen Punkt X(t) =
⎜ b ⎟ t ⎜ 3 a
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
+ ⋅− ⎜ ⋅ ⎟ ⎟.
⎜ ⎜
⎜ 3
⎝a + a⋅b⎠⎟ ⎟
⎜ ⎟ ⎟
3 ⎟ ⎜
a a b⎟
⎜ b ⎟
⎝ ⎜ + ⋅ ⎠⎟⎟⎝
⎠
SchmTang:= (a, b)->plot::Curve3d([a+t, b-3*a*t, a^3+a*b+t*b], t=-
1.5..1.5, LineWidth=1.4, Color=RGB::White):
a:=.5: b:=1: plot(Fl, TF(a, b), Faden(a), Parabel(a, b), SchmTang(a,
b), Axes=None): delete(a): delete(b)
Offensichtlich ist die Schmiegetangente Tangente an die Schnittparabel.
69

70
6. Die Neil'sche Parabel
⎛a ⎞
⎜ ⎛⎞ 0
⎜
⎟ ⎜
⎟
Verschiebt man die Faden–Geraden g a : X= ⎜
0⎟ y ⎜1
⎟
⎜ ⎟
+ ⋅⎜
⎟
so parallel, dass ihr Bild in der y-z-
⎜ ⎟ ⎜
⎜
⎟
3⎟
⎜
a ⎟ ⎜⎜ a
⎟
⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟
⎝⎠ ⎟
Koordinatenebene liegt, erhält man h a
⎛0⎞ ⎜ ⎛⎞ 0
⎜
⎟ ⎜
⎟
: X= ⎜ 0⎟ y ⎜1
⎟
⎜ ⎟
+ ⋅⎜
⎟ bzw. h
⎜ a
⎜ ⎟ ⎟
3⎟
⎜
a ⎟ ⎜a ⎟
⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟
⎝⎠ ⎟
3
: z= a + a⋅ y.
Diese
Geraden hüllen eine Kurve ein; im Bild liegen die Geraden in der rechten Fläche.
Um welche Kurve handelt es sich? Für gewöhnlich behandelt man die Aufgabe, wie man bei
einer gegebenen Kurve in jedem Kurvenpunkt die Tangente berechnet. Eine Kurve wird dabei
aufgefasst als Menge von Punkten; gesucht ist die Menge der Berührgeraden.
Dualisiert man diese Fragestellung, so ist eine Kurve aufzufassen als Hüllkurve von
Berührgeraden; gesucht ist dann die Menge der Kurvenpunkte. Die Aufgabe besteht also darin,
zu einer beliebigen Kurvengeraden den Berührpunkt mit der Kurve zu finden.
Da das neue Problem zum alten dual ist, sollte auch die neue Lösung zur alten dual sein. Wie
geht man bei der Lösung des alten Problems vor?
Statt der gesuchten Tangente t P in einem Kurvenpunkt P berechnet man zunächst die Sekante
PQ mit einem zweiten beliebigen Kurvenpunkt Q. Die Tangente in P erklärt man dann als die
Grenzgerade der Sekante für Q→P: Es ist tP= lim PQ.
Q→P Diese Vorgehensweise läßt sich vollständig dualisieren:
Statt des gesuchten Berührpunkts B g für eine Kurvengerade g berechnet man zunächst den
Schnittpunkt g∩ h mit einer zweiten beliebigen Kurvengerade h. Den Berührpunkt von g erklärt
man dann als den Grenzpunkt des Schnittpunkts für h→g: Es ist Bg= lim g∩ h.
3
a
2 2
h→g Gegeben sind ihre Tangenten mit der Gleichung h : z= a + a⋅ y.
Zwei Tangenten (zu den
⎛−a −a⋅b−b ⎞
Parametern a und b) schneiden einander in S = ⎜ ⎟.
Für b → a bekommt man den
⎜ 2 2
−a ⋅b−a⋅b ⎟
⎝ ⎠

⎛ 2
3a ⎞
3 2
− ⋅
⎛−y⎞ ⎛z⎞ Berührpunkt ⎜ ⎟.
Die Kurve hat somit die Gleichung
⎜ 3
−2a ⋅ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
3 ⎟
= ⎜ ⎟
2 ⎟
. Es handelt sich um
⎜⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎠
⎝ ⎠
die Neil'sche Parabel.
7. Kurven auf der Fläche
Wir haben schon gesehen, dass auf der Fläche mit der Falte
3
• die Faden–Geraden g : z= a + a⋅ y (in der Ebene mit x= a),
a
• die kubischen Parabeln mit der Gleichung z= x + b⋅ x (in der Ebene mit y= b),
c 2
• die kubischen Kurven mit der Gleichung y= − x (in der Ebene mit z= c),
x
⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎛ 0 ⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟
• die Parabeln mit dem allgemeinen Punkt ⎜2a b⎟ x
⎜
a ⎟ x ⎜ 1
⎟
⎜ ⋅ + ⎟
+ ⋅ ⎜ − ⎟
+ ⋅− ⎜ ⎟ (in der
⎜ ⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟
0 2 ⎜
⎜
⎟ ⎜ ⎟
2a b⎟
⎜⎜ −a
⎟
⎜ ⎟ ⎝⎜ ⎜ ⋅ + ⎠⎟
⎝ ⎠⎟
⎝ ⎠ ⎟
⎟
⎛ a ⎞
⎜
⎟
Tangentialebene zu P= ⎜ b ⎟
⎜ ⎟
) liegen.
⎜ ⎟
⎜ 3
⎝a + a⋅b⎠⎟ ⎟
Aber es gibt noch mehr Kurven darauf!
Extrema der kubischen Parabeln: Die kubische Parabel mit der Gleichung z= x + b⋅ x hat
für b < 0 ein Extremum bei x =±
−b
. Mit u: =
3
⎛ u ⎞
⎜
±
−b
⎜
⎟
⎜ 2 ⎟
gilt: Das Extremum ist 3u ⎟
3
⎜ − ⋅ ⎟
;
⎜ ⎟
⎜ 3
⎝∓2u ⋅ ⎠ ⎟
das obere Zeichen gehört zum Minimum; das untere zum Maximum. Alle Extrema liegen auf der
⎛ k ⎞
⎜
⎟
⎜ 2⎟
räumlichen Parabel mit dem allgemeinen Punkt ⎜−3k ⎟
⎜ ⋅ ⎟
.
⎜ ⎟
⎜⎜− 3
⎝ 2k ⋅ ⎟ ⎟⎠
Extr:=plot::Curve3d([k, -3*k^2, -2*k^3], k=-0.8..0.8, LineWidth=1.4,
Color=RGB::Red):
plot(Fl, Extr)
3
3
71

72
8. Die räumliche Parabel
⎛ t ⎞
⎜
⎟
⎜ 2⎟
Ein allgemeiner Punkt auf der räumlichen Parabel hat die Form ⎜t ⎟
⎜ ⎟
.
⎜ ⎟
⎜ 3
⎝t⎠ ⎟
tt:=1.5:
RP:=plot::Curve3d([t, t^2, t^3], t=-tt..tt, LineWidth=1.4,
Color=RGB::Blue):
RPx:=plot::Curve3d([tt, t^2, t^3], t=-tt..tt, LineWidth=.5,
Color=RGB::Red):
RPy:=plot::Curve3d([t, -tt^2, t^3], t=-tt..tt, LineWidth=.5,
Color=RGB::Green):
RPz:=plot::Curve3d([t, t^2, -tt^3], t=-tt..tt, LineWidth=.5,
Color=RGB::Black):
plot(RP, RPx, RPy, RPz)
⎛ a ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ 2⎟
⎜ ⎟
Ein allgemeiner Punkt der Tangente für t = a hat die Form ⎜a ⎟ s
⎜
2 a ⎟
⎜ ⎟ ⎟+ ⋅ ⎜ ⋅ ⎟
. Sie hat mit der
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 3⎟⎜2⎟ ⎜⎝a ⎠⎟ ⎟ ⎜⎝⎜3⋅a
⎠⎟
⎟
räumlichen Parabel einen doppelten Schnittpunkt.
Tan:=a->plot::Curve3d([a+s, a^2+s*2*a,a^3+s*3*a^2], s=-1..1,
LineWidth=.5, Color=RGB::Red):

Die Tangenten bilden eine Tangentenfläche:
vieleTang := (a.j := Tan(j/20)) $ j=-30..30:
plot(RP, vieleTang, Axes=None)
Eine Schmiegungsebene hat mit der räumlichen Parabel einen dreifachen Schnittpunkt: Es sei
⎛x⎞ ⎛u⎞ ⎛ a ⎞
⎟ ⎛u⎞ ⎛
⎜
a ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜y ⎟ ⎟⋅ ⎜v ⎟ ⎟= ⎜a
⎟
⋅⎜v
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 2⎟
die Gleichung einer Ebene durch P= ⎜a
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
. Schneidet man sie mit der Kurve,
⎜⎜z ⎟ ⎜ ⎜⎜1 ⎟ ⎜ 3⎟
⎜
⎜a
⎟ ⎜ ⎜1
⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎟
⎝ ⎠
⎟
⎜ 3
⎝a⎠ ⎟
⎛ t ⎞ u ⎛ a ⎞
⎜ ⎛ ⎞ ⎛u⎞ ⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜
2⎟
⎜ ⎟
so erhält man die Schnittgleichung ⎜t ⎟ ⎜v ⎟ ⎜
a ⎟ ⎜v
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟⋅ ⎜ ⎟ ⎟= ⎜ ⎟ ⎟⋅⎜
⎟ ⎟.
Die Schnittgleichung hat natürlich die
⎜ ⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟
3⎟ ⎜
1
⎟ ⎜ 3⎟
⎜
⎜t ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a
⎟ ⎜⎜1
⎟
⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎟
2
Lösung t = a. Sie soll diese Lösung dreifach haben, muss v= 3⋅ a und u = 3⋅ a sein.
⎛ 2
x⎞ ⎛3 a ⎞
⎜ ⋅ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
3
Mithin hat die Schmiegungsebene die Gleichung y
⎟ ⎜ ⎟
3 a⎟ ⎜ ⎟⎟⋅⎜ ⎜ − ⋅
⎟
= a .
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜z ⎟
⎝ ⎠ ⎟ ⎜ 1 ⎟
⎜⎝ ⎠ ⎟
delete(u):delete(v):
SchmEb := a->plot::Surface([a+u, a^2+a*2*u+2*v, a^3+3*a^2*u+6*a*v], u=-
1.5..1.5, v=-1.5..1.5, Color=RGB::Yellow):
a:=0.1: plot(RP, SchmEb(a), Tan(a), Axes=None): delete(a)
Auch die Schmiegungsebene durchsetzt die Kurve!
73

74
9. Schluss
Nach der Besichtigung der Faltenfläche hätte man in die Breite gehen können und statt dessen
andere parametrisierte Kurvenscharen besichtigen können. Lohnender ist der Gang in die Tiefe:
Man bleibe beim Objekt und untersuche es genauer.