Grundwissen Jahrgangsstufe 6
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GM 6.1 Brüche<br />
<strong>Grundwissen</strong> <strong>Jahrgangsstufe</strong> 6<br />
Brüche:<br />
Zerlegt man ein Ganzes z.B. in 5 gleich große Teile und fasst dann 3 dieser Teile zusammen, so erhält<br />
3 man des Ganzen.<br />
5<br />
3 Im Bruch ist 5 der Nenner und 3 der Zähler.<br />
5<br />
Stammbrüche haben den Zähler 1, z.B.<br />
, .<br />
1 1 , 1<br />
2 3 4<br />
Bei echten Brüchen ist der Zähler kleiner als der Nenner, z.B. 2 7 , , 1 .<br />
3 11 14<br />
Bei unechten Brüchen ist der Zähler mindestens so groß wie der Nenner. Unechte Brüche kann man<br />
3 3 27 3<br />
auch als gemischte Zahlen schreiben, z.B. = 1 1 , 11 = 2 , = 3 . Gemischte Zahlen sind eine kürzere<br />
2 2 4 4 8 8<br />
3 3<br />
Schreibweise für eine Summe, so ist z.B. 3 = 3 + .<br />
8 8<br />
3 Vertauscht man bei einem Bruch Zähler und Nenner, so erhält man den Kehrbruch. ist der<br />
2<br />
Kehrbruch von 2 .<br />
3<br />
Kürzen eines Bruchs:<br />
Sind Zähler und Nenner eines Bruchs durch die gleiche natürliche Zahl teilbar, kann man den Bruch<br />
kürzen. Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch die gleiche natürliche Zahl dividiert.<br />
8 2⋅4<br />
= =<br />
12 3⋅4<br />
2<br />
3<br />
75 15 5 =<br />
135 27 9<br />
Der Bruch wurde mit 4 gekürzt.<br />
= Der Bruch wurde zunächst mit 5, dann mit 3 gekürzt.<br />
Haben Zähler und Nenner eines Bruchs keinen von 1 verschiedenen Teiler gemeinsam, dann ist der<br />
Bruch vollständig gekürzt. Man sagt, er ist in Grundform.<br />
Erweitern eines Bruchs:<br />
Ein Bruch wird erweitert, indem man Zähler und Nenner mit der gleichen (natürlichen) Zahl<br />
multipliziert. Diese Zahl heißt Erweiterungsfaktor.<br />
2 2⋅7<br />
= =<br />
5 5⋅7<br />
3 3⋅5<br />
= =<br />
7 7⋅5<br />
14<br />
35<br />
15<br />
35<br />
Der Bruch wurde mit 7 erweitert.<br />
Der Bruch wurde mit 5 erweitert.<br />
Die Brüche 14 15 und haben den gleichen Nenner. Sie sind gleichnamig.<br />
35 35<br />
9
GM 6.2 Dezimalschreibweise<br />
Dezimalschreibweise:<br />
Brüche, deren Nenner Stufenzahlen (10, 100, 1000, ...) sind, können direkt in Dezimalschreibweise<br />
angegeben werden.<br />
3 = 0,<br />
3<br />
Null Komma drei.<br />
10<br />
1 100<br />
53 = 1,<br />
53<br />
Eins Komma fünf drei.<br />
3 1000<br />
21 = 3,<br />
021<br />
Drei Komma null zwei eins.<br />
Die Stellen nach dem Komma heißen Dezimalen. Sie werden als Zehntel, Hunderstel, Tausendstel usw.<br />
bezeichnet.<br />
Umwandeln von Dezimalschreibweise in Bruchschreibweise:<br />
Beim Umwandeln der Dezimalschreibweise in die Bruchschreibweise wird der Dezimalteil zum Zähler<br />
des Bruchs. Der Nenner ist diejenige Stufenzahl, die so viele Nullen besitzt, wie der Dezimalteil Stellen<br />
hat.<br />
13 2 , 13 = 2<br />
Der Dezimalteil ist 13. Er wird zum Zähler. Da er 2 Stellen hat,<br />
100<br />
4 , 027 = 4 27<br />
ist der Nenner 100.<br />
Der Dezimalteil ist 027. Der Zähler ist somit 27. Der Dezimalteil<br />
1000<br />
hat 3 Stellen. Der Nenner des Bruchs ist also 1000.<br />
Umwandeln von Bruchschreibweise in Dezimalschreibweise:<br />
Jeder Bruch, dessen Nenner eine Stufenzahl ist oder durch Kürzen und/oder Erweitern zu einer<br />
Stufenzahl gemacht werden kann, kann in endlicher Dezimalschreibweise dargestellt werden.<br />
53 = 1,<br />
53<br />
Der Nenner ist bereits eine Stufenzahl.<br />
1 100<br />
625 = 0,<br />
625<br />
Erweitern mit 125 liefert den Nenner 1000.<br />
5 =<br />
8 1000<br />
2 12 =<br />
75 25 100<br />
16<br />
= 2 4 = 2 2,<br />
16 Erst mit 3 kürzen, dann mit 4 erweitern liefert den Nenner 100.<br />
Man gelangt auch zur Dezimalschreibweise, indem man eine Division ausführt. Beim Überschreiten<br />
des Kommas im Dividenden muss man im Quotientenwert ein Komma setzen.<br />
2 14 = 2,<br />
56<br />
25<br />
Rechne 14,00 : 25 = 0,56<br />
140<br />
- 125<br />
150<br />
-150<br />
0<br />
Bei Brüchen, deren Nenner nicht zu einer Stufenzahl erweitert werden kann, liefert die Division<br />
einen unendlichen, periodischen Dezimalbruch.<br />
1 = ?<br />
3<br />
Rechne 1 : 3 = 0,33....<br />
1<br />
Man schreibt:<br />
= 0,<br />
3 3<br />
10<br />
- 9<br />
10<br />
...<br />
(Null Komma Periode 3)<br />
5 = ? 12<br />
Rechne 5 : 12 = 0,4166... Man schreibt:<br />
5 = 0,<br />
416<br />
12<br />
50 (Null Komma vier eins<br />
- 48<br />
20<br />
- 12<br />
80<br />
- 72<br />
80<br />
...<br />
Periode 6)<br />
10
GM 6.3 Rationale Zahlen<br />
Menge der rationalen Zahlen:<br />
Alle positiven und alle negativen Brüche und die Zahl 0 bilden zusammen die Menge ℚ der rationalen<br />
Zahlen. Jede rationale Zahl ist also als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellbar. Insbesondere ist jede<br />
ganze Zahl eine rationale Zahl.<br />
Rationale Zahlen kann man in Bruchschreibweise und in Dezimalschreibweise darstellen.<br />
Beispiele:<br />
Zehntel: 1 = 1, 2 = 0,<br />
2 3 = 0,<br />
3 4 = 0,<br />
4 5 = 0,<br />
5 6 = 0,<br />
6 7 = 0,<br />
7 8 = 0,<br />
8 9 = 0,<br />
9<br />
10<br />
0 10 10 10 10 10 10 10 10<br />
Fünftel: 1 3<br />
= , 2 2 = 0,<br />
4 = 0,<br />
6 4 = 0,<br />
8<br />
5<br />
0 5<br />
5 5<br />
Viertel: 1 3<br />
= , 25 2 = 1 = 0,<br />
5 = 0,<br />
75<br />
4<br />
0 4 2<br />
4<br />
Achtel: 1 3<br />
5<br />
7<br />
= , 125 = 0,<br />
375 = 0,<br />
625 = 0,<br />
875<br />
8<br />
0 8<br />
8<br />
8<br />
20stel: 1 3<br />
7<br />
9<br />
13<br />
17<br />
19<br />
= , 05 = 0,<br />
15 = 0,<br />
35 = 0,<br />
45 11 = 0,<br />
55 = 0,<br />
65 = 0,<br />
85 = 0,<br />
95<br />
20<br />
0 20<br />
20<br />
20<br />
20<br />
20<br />
20<br />
20<br />
Einige periodische Dezimalbrüche kommen häufiger vor. Diese sollte man kennen und zum Rechnen in<br />
Bruchschreibweise umformen. Zahlen in periodischer Darstellung eignen sich nicht zum Rechnen!<br />
0 , 3 = 1 0,<br />
6 = 2<br />
3<br />
3<br />
0 , 1 = 1<br />
9<br />
0 1, 6 = 1<br />
6<br />
Runden:<br />
Für das Runden einer Zahl ist nur die Ziffer von Bedeutung, die der Stelle, auf die gerundet werden<br />
soll, unmittelbar folgt.<br />
Bei den Ziffern 0, 1, 2, 3 und 4 rundet man ab.<br />
Runde auf Zehntel: 17,348 ≈ 17,3 Der Zehntelstelle folgt eine 4. Es wird<br />
abgerundet.<br />
Runde auf Tausendstel: 1,9513 ≈ 1,951 Der Tausendstelstelle folgt eine 3. Es wird<br />
abgerundet.<br />
Bei den Ziffern 5, 6, 7, 8 und 9 rundet man auf.<br />
Runde auf Hundertstel: 17,348 ≈ 17,35 Der Hunderstelstelle folgt eine 8. Es wird<br />
aufgerundet.<br />
Runde auf Zehntel: 1,9513 ≈ 2,0 Der Zehntelstelle folgt eine 5. Es wird<br />
aufgerundet.<br />
Größenvergleich:<br />
Brüche vergleicht man meistens, indem man sie gleichnamig macht und dann ihre Zähler<br />
vergleicht.<br />
4 8 3 = 9 ; 8 < 9 ;<br />
4 < 3<br />
= ; Also ist 21 42 14 42 42 42<br />
21 14<br />
Beim Größenvergleich von Dezimalzahlen vergleicht man stellenweise von links nach rechts. Die<br />
erste Ziffer, in der sich die beiden Zahlen unterscheiden, zeigt, welche Zahl die größere ist.<br />
3,25 < 3,31 Die Zahlen unterscheiden sich erst auf der Zehntelstelle.<br />
6,98544 < 6,98655 Die Zahlen unterscheiden sich erst auf der Tausendstelstelle.<br />
Beim Vergleich zweier rationaler Zahlen, von denen eine in Bruchschreibweise und die andere in<br />
Dezimalschreibweise gegeben sind, muss man in der Regel eine der beiden in die andere<br />
Schreibweise umwandeln.<br />
Vergleiche 6,16 und<br />
2<br />
16 10<br />
6 : 6 , 16 6 = 6 4 = 6 12 ; 6 2 = 6<br />
15<br />
100 25 75 15 75<br />
= ; Also ist<br />
Vergleiche 1 und 1,32: 1 = 1,<br />
3 = 1,<br />
333...<br />
; Also ist 1,32 <<br />
1<br />
3<br />
1 3<br />
11<br />
1 1 .<br />
3<br />
6 2 < 6,16<br />
15
GM 6.4 Absolute und relative Anteile<br />
Relativer Anteil/Bruchteil:<br />
Teilt man ein Ganzes in 5 gleich große Teile und fasst dann 3 dieser<br />
3 Teile zusammen, so erhält man des Ganzen (vgl. Abbildung). Man<br />
5<br />
3 bezeichnet als den Bruchteil bzw. relativen Anteil.<br />
5<br />
Relative Anteile kann man in Bruchschreibweise, in Dezimalschreibweise<br />
und in Prozentschreibweise angeben.<br />
3 = 0,6 = 60 %<br />
5<br />
Relative Anteile treten häufig beim Rechnen mit Größen auf.<br />
3 von 50 € = 30 €<br />
5<br />
3 Hier ist 50 € das Ganze, der relative Anteil und 30 € der absolute Anteil des Ganzen.<br />
5<br />
Berechnung des relativen Anteils:<br />
Zur Berechnung des relativen Anteils dividiert man den absoluten Anteil durch das Ganze.<br />
27kg<br />
60kg<br />
27 9<br />
Welcher (relative) Anteil sind 27 kg an 60 kg? = = = 0,<br />
45 = 45%<br />
54 9 36<br />
Wie viel Prozent sind 54 Schüler von 150 Schülern? = = = 36%<br />
Berechnung des absoluten Anteils einer Größe:<br />
Man berechnet den absoluten Anteil z einer Größe, indem man die Größe zunächst durch n dividiert<br />
n<br />
und den Wert dieses Quotienten mit z multipliziert.<br />
3 von 28 € = (28 € : 7) ⋅ 3 = 4 € ⋅ 3 = 12 €<br />
7<br />
relativer absoluter<br />
relativer absoluter<br />
Anteil Anteil<br />
Anteil Anteil<br />
:7<br />
⋅ 3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
7<br />
3<br />
28 €<br />
4 €<br />
12 €<br />
:7<br />
⋅ 3<br />
:100<br />
⋅ 16<br />
100%<br />
1 %<br />
16 %<br />
175 €<br />
1,75 €<br />
28 €<br />
:100<br />
⋅ 16<br />
7<br />
3 3 3 28 3⋅4<br />
Oder: von 28 € = ⋅ 28 € = ⋅ € = € = 12€<br />
7<br />
7<br />
7 1 1⋅1<br />
60<br />
150<br />
20<br />
25<br />
100<br />
16 16 % von 175 € = von 175 € = 4 von 175 € = 28 €<br />
100<br />
25<br />
Oder: 16 % von 175 € = 0,16 ⋅ 175 € = 28 €<br />
Berechnung des Ganzen:<br />
Ist der absolute Anteil z einer Größe bekannt, so berechnet man das Ganze, indem man den absoluten<br />
n<br />
Anteil durch z dividiert und den Wert dieses Quotienten mit n multipliziert.<br />
5 einer Länge sind 10 km.<br />
15 % einer Fläche sind 72 m².<br />
8<br />
:5<br />
⋅ 8<br />
relativer<br />
Anteil<br />
5<br />
8<br />
1<br />
8<br />
8<br />
8<br />
absoluter<br />
Anteil<br />
10 km<br />
2 km<br />
16 km<br />
:5<br />
⋅ 8<br />
:3<br />
⋅ 20<br />
relativer<br />
Anteil<br />
15%<br />
5 %<br />
100%<br />
absoluter<br />
Anteil<br />
72 m²<br />
24 m²<br />
480 m²<br />
:3<br />
⋅ 20<br />
Die (ganze) Länge beträgt 16 km.<br />
Die (ganze) Fläche hat den Flächeninhalt 480 m².<br />
12
GM 6.5 Rechnen mit rationalen Zahlen<br />
Addieren und Subtrahieren rationaler Zahlen:<br />
Brüche werden addiert (subtrahiert), indem man sie gleichnamig macht, ihre Zähler addiert<br />
(subtrahiert) und den gemeinsamen Nenner beibehält. Der Hauptnenner (kleinster gemeinsamer<br />
Nenner) ist das kgV (kleinste gemeinsame Vielfache) der auftretenden Nenner.<br />
3 5 + = 9 10 19 7<br />
+ = = 1<br />
Termwerte in gemischter Schreibweise angeben!<br />
4<br />
6<br />
12<br />
12<br />
12<br />
5 1 5 3 = − 2 = = 1<br />
6 3 6 6 6 2<br />
12<br />
− Termwerte vollständig kürzen!<br />
Gemischte Zahlen werden addiert (subtrahiert), indem man jeweils sowohl die ganzen Zahlen als<br />
auch die Brüche addiert (subtrahiert).<br />
3 4<br />
3 4 7<br />
3 + 4 = ( 3 + 4)<br />
+ ( + ) = 7 = 8 2<br />
5<br />
5<br />
6 =<br />
5<br />
9 5<br />
9 5<br />
− 3 = ( 6 − 2)<br />
+ ( − ) = 4 4 4 1<br />
16 16<br />
16 16 16 4<br />
3 =<br />
5<br />
2 5 11 5 6 2<br />
5<br />
− 1 = 2 −1<br />
= 1 1<br />
Weil 9 9 9 9 9 3<br />
9 9<br />
5<br />
5<br />
2 < muss man ein Ganzes in Neuntel umwandeln!<br />
Rationale Zahlen in Dezimalschreibweise werden stellenweise addiert (subtrahiert).<br />
Untereinander Nebeneinander<br />
2,<br />
1 6 2<br />
+ 0,<br />
+ 4,<br />
7,<br />
9<br />
8<br />
9<br />
5<br />
8<br />
9<br />
0<br />
1<br />
3<br />
45,6 – 12,738 = 45,600 – 12,738 = 32,862<br />
Multiplizieren rationaler Zahlen:<br />
Brüche werden multipliziert, indem man das Produkt der Zähler durch das Produkt der Nenner<br />
dividiert.<br />
2 3 2⋅3<br />
⋅ = =<br />
7 5 5⋅7<br />
6<br />
35<br />
4 15 4⋅15<br />
1⋅5<br />
⋅ = = =<br />
9 16 9⋅16<br />
3⋅4<br />
5<br />
12<br />
Vor dem Ausmultiplizieren des Zählers und Nenners kürzen!<br />
Gemischte Zahlen müssen vor dem Multiplizieren in unechte Brüche umgewandelt werden.<br />
5 11 55<br />
2 1 ⋅ 3 2 = ⋅ = = 9 1 Produktwert wieder als gemischte Zahl schreiben!<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
6<br />
6<br />
Rationale Zahlen in Dezimalschreibweise werden multipliziert, indem man zunächst den<br />
Produktwert der Zahlen ohne Berücksichtigung der Kommas bildet. Dann erhält der Produktwert<br />
so viele Dezimalen wie beide Faktoren zusammen besitzen.<br />
1,6 ⋅ 0,34 = 0,544 NR. 16 ⋅ 34 = 544; Der Produktwert muss 3 Dezimalen haben.<br />
Unterscheide Produkte und gemischte Zahlen.<br />
2 ⋅ 2 = 4 ; 2 2 = 2 + 2<br />
Man sieht: 2 ⋅ 2 ≠ 2 2<br />
3<br />
3<br />
3<br />
3<br />
Dividieren rationaler Zahlen:<br />
Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert.<br />
1 1 : 2 6 2 6 3 3⋅<br />
3 9<br />
: = ⋅ = = = 1 4 Gemischte Zahlen erst in unechte Brüche verwandeln!<br />
5<br />
= 3 5 3 5 2 5⋅1<br />
5<br />
5<br />
3<br />
Bei der Division zweier rationaler Zahlen in Dezimalschreibweise wird zuerst im Dividend und im<br />
Divisor das Komma gleich weit verschoben und zwar so, dass der Divisor eine natürliche Zahl wird.<br />
Dann wird wie gewöhnlich dividiert. Bei Überschreiten des Kommas im Dividend wird im<br />
Quotientenwert ein Komma gesetzt.<br />
5,25 : 4,2 = 52,5 : 42 Kommas um eine Stelle nach rechts verschoben<br />
52,5 : 42 = 1,25<br />
- 42<br />
105<br />
- 84<br />
210<br />
- 210<br />
0<br />
Beim Rechnen mit rationalen Zahlen gelten die selben Vorzeichenregeln, Rechenregeln und<br />
Rechengesetze wie beim Rechnen mit ganzen Zahlen (→ GM 5.2).<br />
13<br />
3
GM 6.6 Flächeninhalte<br />
Parallelogramm<br />
Jedes Parallelogramm besitzt vier Seiten, von denen die gegenüberliegenden jeweils gleich lang und<br />
parallel sind. Der Abstand zweier paralleler Seiten heißt Höhe. Jedes Parallelogramm hat also zwei<br />
Grundlinien g1 und g2 und zwei Höhen h1 und h2.<br />
Flächeninhalt des Parallelogramms:<br />
A = g1 ⋅ h1 und A = g2 ⋅ h2 („Grundlinie mal zugehörige Höhe.“)<br />
Beispiel:<br />
AKIEW = 5 cm ⋅ 2 cm = 10 cm²<br />
und<br />
AKIEW = 2,5 cm ⋅ 4 cm = 10 cm²<br />
Dreieck<br />
Jedes Dreieck besitzt drei Seiten (Grundlinien). Man benennt sie entsprechend der gegenüberliegenden<br />
Ecke mit einem kleinen Buchstaben. (Der Ecke A gegenüber liegt die Seite a.) Der Abstand einer Ecke<br />
von der gegenüberliegenden Seite heißt Höhe. (Die zur Seite a gehörende Höhe wird mit ha bezeichnet.)<br />
Flächeninhalt des Dreiecks:<br />
1 1 1 1<br />
A = ⋅ a ⋅ ha und A = ⋅ b ⋅ hb und A = ⋅ c ⋅ hc („ mal Grundlinie mal zugehörige Höhe.“)<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
Beispiele:<br />
2 cm<br />
3,6 cm<br />
A = 1 ⋅ 3,6 cm ⋅ 2 cm = 3,6 cm²<br />
2<br />
Trapez<br />
Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei<br />
gegenüberliegende Seiten parallel sind.<br />
Diese zueinander parallelen Seiten heißen<br />
Grundlinien. Ihr Abstand wird als Höhe<br />
bezeichnet.<br />
Flächeninhalt des Trapezes:<br />
A = 1 ⋅ (a + c) ⋅ h<br />
2<br />
(„Halbe Summe der Grundlinien mal<br />
Höhe.“)<br />
Stumpfwinkliges Dreieck<br />
Spezialfall: Rechtwinkliges Dreieck<br />
1,5 cm<br />
14<br />
4 cm<br />
hb<br />
A = 1 ⋅ 1,5 cm ⋅ 4 cm = 3 cm²<br />
2<br />
A<br />
a c<br />
B<br />
h<br />
D<br />
C<br />
hc
GM 6.7 Körper und ihr Volumen<br />
Grundriss, Aufriss, Seitenriss<br />
Um eine Vorstellung von einem Körper zu<br />
bekommen, stellt man ihn häufig aus<br />
verschiedenen Richtungen betrachtet dar. Der<br />
Grundriss zeigt, wie der Körper senkrecht von<br />
oben betrachtet aussieht, der Aufriss, wie der<br />
Körper von vorne betrachtet aussieht, und der<br />
Seitenriss wie der Körper von rechts oder von<br />
links betrachtet aussieht.<br />
Schrägbild<br />
In einem Schrägbild wird ein Körper so<br />
gezeichnet, dass man ihn sich räumlich gut<br />
vorstellen kann. Die senkrecht nach hinten<br />
verlaufenden Kanten werden schräg und<br />
verkürzt gezeichnet. Häufig zeichnet man sie<br />
unter einem 45°-Winkel und in halber Länge.<br />
Unsichtbare Kanten werden im Schrägbild<br />
gestrichelt gezeichnet.<br />
Quader und Würfel<br />
Ein Quader ist durch seine drei Kantenlängen<br />
(Länge l, Breite b und Höhe h) festgelegt. Er<br />
hat das Volumen<br />
V = l ⋅ b ⋅ h<br />
und den Oberflächeninhalt<br />
O = 2 ⋅ l ⋅ b + 2 ⋅ l ⋅ h + 2 ⋅ b⋅ h.<br />
Ein Würfel ist ein besonderer Quader. Seine<br />
drei Kantenlängen sind gleich. Ein Würfel ist<br />
also durch seine Kantenlänge a festgelegt. Er<br />
hat das Volumen<br />
V = a³<br />
und den Oberflächeninhalt<br />
O = 6 ⋅ a².<br />
Beispiel: Quader<br />
Beispiel: Quader<br />
Prisma<br />
Ein (gerades) Prisma hat als Grund- und Deckfläche zwei deckungsgleiche Vielecke, die parallel<br />
zueinander liegen. Die Seitenflächen eines Prismas sind Rechtecke. Alle Seitenflächen zusammen<br />
bilden die Mantelfläche des Prismas.<br />
Beispiele<br />
Dreiseitiges Prisma<br />
(„auf der Grundfläche stehend“)<br />
Dreiseitiges Prisma<br />
(„auf einer Seitenfläche liegend“)<br />
15<br />
Sechsseitiges Prisma<br />
(„auf der Grundfläche stehend“)