Aufgaben zum Grundwissen der Jahrgangsstufe 8 - Lösungen

Aufgaben zum Grundwissen der Jahrgangsstufe 8 - Lösungen
I. Proportionale und umgekehrt proportionale Zuordnungen
1.
a) Für die gegebenen Wertepaare gilt x⋅y = 84, also ist x a y eine umgekehrte Proportionalität mit der
Zuordnungsvorschrift
84
x a . Fehlende Werte: 105; 26,25
x
y 1
1
b) = ; Proportionaliät; y a x ; 0,9; 1,3
x 9
9
2.
a) Anzahl der Tage: t, Ausgaben pro Tag: a; Dann gilt a ⋅ t = 870 €; umgekehrte Proportionalität
b) 217,50 €; 145 €; 108,75 €; 87 €; 72,50 €
c) Auch hier: a ⋅ t = 870 €; umgekehrte Proportionalität
II. Berechnungen an Kreisen
1 1
1. = 2 ⋅ ⋅ ( 2 ⋅ 4cm
⋅ π)
+ 4 ⋅ ⋅ ( 2 ⋅ 2cm
⋅ π)
= 12πcm
U 4
2
Die gefärbte Fläche lässt sich so zerlegen und wieder zusammensetzen, dass ein Halbkreis mit
1 Radius 4 cm entsteht. Sie besitzt also den Flächeninhalt A = ⋅ ( 4cm)
π = 8πcm²
.
2. π⋅x + π⋅2x + π⋅3x + π⋅4x = 31,4 cm ⇒ x = 1 cm
3.
a) gemeinsame Länge der beiden Kreisbögen: 2rπ = 2⋅36,50 m⋅π ≈ 229,22 m
Länge des geraden Abschnitts: 0,5 ⋅ (400 m − 229,22 m) = 85,39 m
b)
A =
2 ( 36,
50m)
π + 85,
39m
⋅ 2 ⋅ 36,
50m
≈ 1,
04ha
c) Der Innenrand der 2. Bahn von innen hat in der Kurve einen größeren Radius: r2 = r + 1,20 m. Setzt
man dies fort, erhält man für die 8. Bahn: r8 = r + 7 ⋅ 1,20 m = 44,90 m. Daher läuft der Läufern in
den Kurven 2 ⋅ 44,90 m ⋅ π ≈ 281,97 m. Also benötigt er 281,97 m – 229,22 m = 52,75 m Vorsprung.
III. Funktionen
1. Man erkennt dies daran, dass es eine Parallele zur y-Achse gibt, die den Graphen in mehr als einem
Punkt schneidet.
2. (A) – (3); (B) – (1); (C) – (2); (D) – (4)
IV. Lineare Funktionen und Gleichungssysteme
2 1. f: x a 2,5x; g: x a −3x + 11; h: x a x + 2 ; k: x a −0,25x − 1,25
2.
-7
-6
3. y = −2x + 7
4. y = 5,5x − 20,5
-5
-4
-3
-2
-1
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
y
1 2 3 4 5 6 7
x
7
1
2
2

5. (10|3)
6. x = − 1,25
7. a = 2,5 ; b = −1,1
2 2 8. x ≤ ; L = ]−∞ ; ]
3
3
V. Laplace-Wahrscheinlichkeiten
1 1
1. a) b)
5
4
6
2. A = {11; 13; 15; 17; 19; 20}; P(A) = 11
4
B = {16; 17; 18; 19}; P(B) = 11
7
C = {10; 12; 14; 15; 16; 18; 20}; P(C) = 11
3. a) 8 ⋅ 7 = 56 b) 8 ⋅ 8 = 64
4. Es gibt insgesamt 310 = 59049 Möglichkeiten für das Ankreuzen.
1
a) Bei genau einer Möglichkeit sind alle Kreuze richtig gesetzt. P = ≈ 0,
000017
59049
b) 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 26 64
= 64 P = ≈ 0,
0011 = 0,
11%
59049
c) Das Gegenereignis von „mindestens eine Antwort richtig angekreuzt“ ist „keine Antwort richtig
2 1024
angekreuzt“. Seine Wahrscheinlichkeit beträgt 0,
02
59049 59049
10
= ≈ . Also ist die
Wahrscheinlichkeit von „mindestens eine Antwort richtig angekreuzt“ gleich 1 – 0,02 = 0,98 = 98%.
VI. Gebrochenrationale Funktionen
1.
1
f ( x)
= ; D = Q\{0}; Asymptoten: x = 0, y = 0
2x
x + 2
g(
x)
= ; D = Q\{4} ; Asymptoten: x = 4, y = −1
4 − x
-7
-6
-5
-4
-3
2. Mögliches Beispiel:
-2
-1
f(
x)
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
y
1 2 3 4 5 6 7
x
=
2x
+ 2
2
x

VII. Terme und Bruchterme
1. a) x² + x − 6 b) −4x² + 8x − 3
x² 1
c) −
6 24
2. a) x² + 6x + 9 b) 4x² − 13xy + 9y² 4 c) 1 ² − b²
a 9 4
3. a) 2(3x − 4y) b) 12xy(2x + 5y²) c) 5x(2y − 1)
2
4. a)
3
3
b)
4y
3 a
c)
5bc
1
5. a)
9
1
b)
2a
c) − 1
x − 3
6. a)
2(
x + 2)
3
b)
4
x + 3y
c)
3xy
1
7. a)
x²
− 1
b)
a( a − 1)
4x
c)
( x − 2)(
x + 2)
2
8. a)
x²(
x − 1)
6
b)
x(
x − 1)(
x + 1)
x − y
c)
xy
9. a) 1
2 y
b)
9
2x
c)
2 − x
10. a) a − 1
− 2( y − 1)
b)
y
4 ( n + 1)
c)
2n
+ 1
a a − b
11. a) − 1 =
b b
b) 3b − 4a
x + 1
c)
x − 2
VIII. Bruchgleichungen
1. a) D = Q\{0}; L = {−6} b) D = Q\{−2}; L = {−3,2}
c) D = Q\{0 ; 1} ; L = {2} 8 d) D = Q\{2 ; −3}; L = { } 9
2.
-7
-6
-5
-4
-3
Rechnerische Lösung:
x²
+ 2
= x − 3 ⇒ x = 0,25
x − 1
Schnittpunkt: (0,5 | −2,75)
-2
-1
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
y
1 2 3 4 5 6 7
x
3

IX. Strahlensatz und ähnliche Figuren
1. u = 5,5 v = 6 x = 8,75 y = 8,4
u = 8 v = 9 x = 11,25 y = 12
2. = 4,
5cm
;
1 FH = 8 cm
BC 3
3. Es gibt zwei Lösungen: 57,6 cm; 2073,6 cm² und 22,5 cm; 810 cm²
4. Die beiden Dreiecke sind nicht ähnlich. Sie haben zwar einen (spitzen) Winkel gemeinsam, aber der
stumpfe Winkel des umrandeten Dreiecks beträgt 135°, der des grau gefärbten Dreiecks ist kleiner
als 135°, da der andere spitze Winkel schon 45° beträgt.
X. Aufgaben im Stile des BMT
1. 250 €
2. −0,5x + 1
2 3. 7
4. 0,5 −3 5. (I) 5f = m (II) m − 80 = f
y q
6. =
x + y p
7. 16
8. 60
4