Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

Entsprechend ihrer beabsichtigten Bedeutung muß die Funktion empty eine Liste in einen booleschen
Wert abbilden, die Funktion tail eine Liste in eine Liste und die Funktion head eine Liste in ein Element
von X. Dabei ist jedoch zu berücksichtigen, daß die Funktion head nicht auf allen Listen definiert ist,
also eine partielle Funktion ist. Dies wird in einem Teil der Literatur (zum Beispiel in [Meyer, 1988])
durch einen modifizierten Pfeil (→) besonders herausgehoben, obwohl dies wegen der Nennung von
Vorbedingungen eigentlich überflüssig ist.
Die Erzeugung einer neuen (leeren) Liste durch die Funktion new wird dadurch ausgedrückt, daß new
keinen Argumenttyp besitzt und somit immer dasselbe Ergebnis liefert.
new: → List[X]
Aus der Sicht der Mathematik sind Funktionen ohne Argumente wie new (sogennante Konstruktor-
Funktionen) und ihr Ergebnis (die Konstante ) praktisch identisch, da es von von außen betrachtet
keine Rolle spielt, ob eine Dienstleistung zur Bereitstellung eines festen Wertes diesen erst berechnen
muß oder auf einen bereits existierenden Wert zugreifen kann. Deshalb können alle Dienstleistungen
als Funktionen beschrieben werden. Diese Sichtweise spiegelt sich auch in der Syntax der Sprache Eiffel
wieder, welche die gleiche Philosophie verfolgt.
• Partielle Funktionen sind in fast allen Programmierproblemen eine unausweichliche Tatsache, aber auch
eine mögliche Quelle für Fehler. Aus diesem Grunde müssen die Anforderungen an die Anwendbarkeit jeder
partiellen Funktion klar formuliert werden. Dies ist der Zweck des Abschnitts PRECONDITIONS.
In unserem Beispiel ist die einzige Vorbedingung, daß head nur auf nichtleere Listen angewandt werden
darf:
pre head(L:List[X]) = (not empty(L))
• Der Abschnitt AXIOMS schließlich beschreibt die semantischen Mindestanforderungen, welche sicherstellen,
daß die genannten Funktionen die gewünschten Eigenschaften besitzen.
So soll die Funktion empty nur für die von new erzeugte leere Liste wahr sein, nicht aber bei Listen,
die durch cons erzeugt wurden. head und tail zerlegen eine durch cons erzeugte Liste wieder in ihre
Bestandteile während auf eine leere Liste nur tail anwendbar ist und wieder eine leere Liste liefert.
Die abstrakte mathematische Beschreibung von Datentypen und Operationen in einem gemeinsamen Konzept
erlaubt es, präzise Aussagen über die Effekte einer Berechnung aufzustellen und durch Verwendung der Axiome
zu beweisen. Die Durchführung einer Berechnung kann nämlich als algebraische Vereinfachung (“Reduktion”)
betrachtet werden, in der die linken (langen) Seiten eines Axioms durch die rechten (kurzen) ersetzt werden.
So läßt sich zum Beispiel auch ohne Verwendung der anschaulich erklärten Bedeutung der Operationen tail,
cons und new beweisen, daß das Ergebnis der Berechnung von tail(tail(cons(4,new()))) der Wert new()
ist. Hierzu braucht man nur das vierte und dann das fünfte Axiom anzuwenden.
Diese Aspekte abstrakter Datentypen haben sie zur Grundlage vieler Forschungen auf den Gebieten der formalen
Spezifikation, der symbolischen Berechnung, der Verifikation von Programmen, dem Software-Prototyping
und nicht zuletzt auch der Datenstrukturbeschreibung werden lassen. In objektorientierten Sprachen wie Eiffel
wird daher jedes Programm um Klassen von Datenstrukturen herum organisiert, die auf der Grundlage
abstrakter Datentypen beschrieben werden. Auf diese Art wird ein ausgewogenes Verhältnis zwischen Daten
und Funktionen hergestellt. Die Struktur eines Softwaresystems beruht auf den Datenstrukturen, aber diese
sind wiederum auf der Grundlage abstrakter Funktionen definiert:
Objektorientierter Entwurf ist die Entwicklung von Softwaresystemen als strukturierte Sammlung
von Implementierungen abstrakter Datentypen.