Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

Wir geben hier eine Funktion an, die für beliebige Funktionen auf natürlichen Zahlen die Funktionstabelle
der Werte 0..n bestimmt.
Beispiel 2.3.6
Map(f,n) = if n = 0 then [0↦→f(0)] else Map(f,n-1) + [n↦→f(n)]
Dann gilt Map : (IN→IN)×IN→ (IN→IN) und es ist zum Beispiel
Map(λn.n 2 , 5) = [0↦→0, 1↦→1, 2↦→4, 3↦→9, 4↦→16, 5↦→25]
2.3.5 Listen
Bei der Erklärung der Semantik prädikatenlogischer Formeln haben wir neben dem Begriff der Tabelle auch
Listen benutzt, also geordnete Aufzählungen von Werten, die (anders als bei Mengen) möglicherweise auch
mehrfach vorkommen. Die Menge aller Listen mit Werten aus der Grundmenge A wird mit A ∗ bezeichnet.
Wir begrenzen Listen durch spitze Klammern. bezeichnet die leere Liste, die Liste, die aus
den Werten 1,2,3,4 und dann wieder 3 besteht.
Die Funktion head:A ∗ →A bestimmt das erste Element einer Liste, falls die Liste nicht leer ist (ansonsten ist
head undefiniert). So ist zum Beispiel head() = 1
Die Funktion tail:A ∗ →A ∗ bestimmt den Rest der Liste nach Entfernung des ersten Elementes. Zum Beispiel
ist tail() = . Für die leere Liste ist tail() = definiert.
Wir benötigen außerdem noch eine Operation, welche Listen zusammensetzt. Diese Funktion wird mit dem
Infixsymbol & bezeichnet. So ist & =
Aus diesen Grundoperatoren lassen sich eine Reihe weiterer nützlicher Funktionen bilden, die wir zuweilen
verwenden werden.
Beispiel 2.3.7
1. Die Funktion length:A ∗ →IN bestimmt die Länge einer Liste. Sie läßt sich rekursiv wie folgt beschreiben:
length(l) = if l= then 0 else length(tail(l))+1
Damit berechnet sich z.B. die Länge der Liste wie folgt:
length()
= if = then 0 else length(tail())+1
= length(tail())+1
= length()+1
= (if = then 0 else length(tail())+1) + 1
= (length()+1) + 1
= (if = then 0 else length(tail())+1) + 1 + 1
= (length()+1) + 1 + 1
= (if = then 0 else length(tail())+1) + 1 + 1 + 1
= 0 + 1 + 1 + 1
= 3
2. Die in Abbildung 2.13 auf Seite 47 benutzte Funktion einelementig:A ∗ →IB ergibt sich durch einen Test
auf die Länge 1:
einelementig(l) = length(l)=1
Man beachte, daß bei der Definition dieser Funktion keine weitere if-Abfrage nötig war, da sie selbst
einen Wahrheitswert als Ergebnis liefert.
3. Die (Infix-)Funktion cons:A×A ∗ →A ∗ hängt ein Element vor den Anfang einer Liste. Sie ist eigentlich
nur eine Kurzschreibweise für einen Spezialfall der &-Operation:
cons(a,l) = & l