Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

den Wert der zweiten Tabelle zu nehmen, weil es dadurch sehr leicht wird, Veränderungen der Einträge in
einer gegebenen Tabelle zu beschreiben. Als Symbol für die Verschmelzung nimmt man das Zeichen ‘+’. Es
ist also tab = tab1+tab2 genau dann, wenn gilt
domain(tab) = domain(tab1)∪domain(tab2)
und für alle arg ∈domain(tab):
tab(arg) = if arg ∈domain(tab2) then tab2(arg) else tab1(arg)
Beispiel 2.3.4
fak5 + [6↦→720] = [1↦→1, 2↦→2, 3↦→6, 4↦→24, 5↦→120, 6↦→720]
fak5 + [6↦→720, 5↦→7] = [1↦→1, 2↦→2, 3↦→6, 4↦→24, 5↦→7, 6↦→720]
Um aus einer Tabelle tab die Einträge für {arg1,..,argn} streichen, schreibt man tab / {arg1,..,argn}.
Beispiel: fak5 / {1,4} = [2↦→2, 3↦→6, 5↦→120]
Wir illustrieren diese Definitionen ausführlich an einem etwas komplexeren Beispiel
Beispiel 2.3.5
Die Funktion sum: (IN→IN)→IN soll die Summe aller Werte einer Tabelle bestimmen. Wir verwenden
hierzu eine rekursive Beschreibung, d.h. erlauben es, in der Beschreibung von sum wieder die Funktion
sum zu verwenden – allerdings mit einem “kleineren” Argument.
sum(t) = if t = []
then 0
else let n ∈domain(t) in t(n) + sum(t/{n})
Wir verfolgen die Berechnung von sum auf einer kleinen Tabelle [1↦→1, 2↦→2, 3↦→6].
Durch Einsetzen erhalten wir
sum([1↦→1,2↦→2,3↦→6]) =
if [1↦→1,2↦→2,3↦→6] = []
then 0
else let n ∈domain([1↦→1,2↦→2,3↦→6]) in [1↦→1,2↦→2,3↦→6](n) + sum([1↦→1,2↦→2,3↦→6]/{n})
Auswerten der Bedingung ergibt, da die Tabelle [1↦→1,2↦→2,3↦→6] nicht leer ist
if falsch = []
then 0
else let n ∈domain([1↦→1,2↦→2,3↦→6]) in [1↦→1,2↦→2,3↦→6](n) + sum([1↦→1,2↦→2,3↦→6]/{n})
Folglich wird der else-Zweig ausgewertet:
let n ∈ domain([1↦→1,2↦→2,3↦→6]) in t(n) + sum(t/{n})
Nach Ausrechnen der domain-Funktion:
let n ∈ {1,2,3} in [1↦→1,2↦→2,3↦→6](n) + sum([1↦→1,2↦→2,3↦→6]/{n})
Wir wählen ein beliebiges n ∈{1,2,3}, z.B. n=2 und erhalten:
[1↦→1,2↦→2,3↦→6](2) + sum([1↦→1,2↦→2,3↦→6]/{2})
Weiteres Auswerten ergibt:
2 + sum([1↦→1,3↦→6]/{2})
Nun beginnt das ganze von vorne mit der Summe der kleineren Tabelle
sum([1↦→1,2↦→2,3↦→6]) = ...
= 2 + let n ∈ {1,3} in [1↦→1,3↦→6](n) + sum([1↦→1,3↦→6]/{n})
= 2 + [1↦→1,3↦→6](3) + sum([1↦→1,3↦→6]/{3})
= 2 + 6 + sum([1↦→1])
= 2 + 6 + let n ∈ {1} in [1↦→1](n) + sum([1↦→1]/{n})
= 2 + 6 + [1↦→1](1) + sum([1↦→1]/{1})
= 2 + 6 + 1 + sum([])
= 2 + 6 + 1 + 0
= 9
Die Funktion sum war ein einfaches Beispiel für eine Funktion “höherer” Ordnung, d.h. eine Funktion, die
andere Funktionen (Tabellen) als Eingabe nimmt. Zuweilen geht man noch ein wenig weiter und benutzt Funktionen,
die auch Funktionen als Werte bestimmen. Ein bekanntes Beispiel hierfür ist das unbestimmte Integral.