Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

Funktionen, die auf allen Elementen von A definiert sind, heißen total. Ist eine Funktionen – wie die Funktion
f mit f(x)=1/x – auf einigen Elementen undefiniert sein, dann heißen sie partiell. Die Menge der Argumente,
auf denen eine Funktion f definiert ist, heißt der Domain von f.
Den Ausdruck “f ist die Funktion mit f(x)=1/x für alle x” kürzen wir manchmal mit “f=λx. 1/x” ab.
Zwei Funktionen f:A→B und g:B→C können durch Komposition zusammengesetzt werden zu einer neuen
Funktion h:A→C mit h(x)=g(f(x)) für alle x.
2.3.2 Bedingte Ausdrücke
Bei der Beschreibung der Prädikatenlogik wurde jeder syntaktischen Konstruktion ein Wert in der Zielsprache
(der Grundmengen und Wahrheitswerte) zugeordnet. Im allgemeinen ist eine solche Zuordnung nicht ganz
einfach sondern benötigt einen komplexen Ausdruck zur Beschreibung des Wertes. Bei der Semantik des
Allquantors, z.B. mußten wir schreiben:
s ((∀ Variable : Bereich . Satz), state) = if Bereich = {} then wahr
else let x ∈ Bereich in
s (Satz, state + [Variable ↦→ x]) und
s ((∀ Variable : Bereich-{x} . Satz), state)
Hierbei haben wir eine Fallunterscheidung eingesetzt, die wir – angepaßt an die meist englischsprachige Literatur
mit if..then..else bezeichnen. Sie erlaubt es, Werte abhängig von einer Bedingung zu berechnen:
Wert1 falls Bedingung wahr ist
Wert = if Bedingung then Wert1 else Wert2 entspricht Wert =
Wert2 sonst
Mit der Fallunterscheidung lassen sich z.B. die Zieloperatoren der Aussagenlogik beschreiben:
a und b = if a then b else falsch
a oder b = if a then wahr else b
.
2.3.3 Abkürzungen
Um zu vermeiden, daß komplexe Teilausdrücke mehrmals explizit in einem Ausdruck genannt werden müssen,
kann man abkürzende Bezeichnungen dafür einführen.
Die Konstruktion “let x=Teilausdruck in Ausdruck” bedeutet, daß einmal der Wert des Teilausdrucks
bestimmt wird und dann alle Vorkommen von x im Term Ausdruck durch den Wert des Teilausdrucks ersetzt
werden. Der Wert des gesamten Ausdrucks ist dann der Wert von Ausdruck nach dieser Ersetzung, d.h. der
Wert des Terms Ausdruck
Teilausdruck
x
Beispiel 2.3.1
Der Wert von let r=10 in let π=3.1415 in 2*π*r ist let π=3.1415 in 2*π*10.
Weiteres Auswerten ergibt 2*3.1415*10 = 62.830.
Die Konstruktion “let x ∈Bereich in Ausdruck” bedeutet, daß zunächst die durch Bereich bezeichnete
(endliche) Menge berechnet wird und dann ein beliebiger Wert aus dieser Menge gewählt wird. Dann werden,
wie zuvor, alle Vorkommen von x im Term Ausdruck durch diesen Wert ersetzt. Der Wert des gesamten
Ausdrucks ist dann der Wert von Ausdruck nach der Ersetzung. Üblicherweise kann man nicht genau sagen,
was dieser Wert ist – er ist indeterminiert
Beispiel 2.3.2 Der Wert von ‘let x ∈{1,2,3} in 2*x’ ist entweder 2 oder 4 oder 6.