Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

• x ist gebunden in p(t1, ..., tn) oder t1 = t2, falls x in mindestens einem ti gebunden ist
• x ist gebunden in ¬ A, wenn x in A gebunden ist
• x ist gebunden in A op B, wenn x in A oder in B gebunden ist (op aus ∧, ∨, ⇒ , ⇔ )
• x ist gebunden in ∃y : Bereich . A bzw. ∀y : Bereich . A, wenn x in A gebunden vorkommt oder x identisch
mit y ist
Definition 2.2.1 führt lediglich Namen (frei, gebunden) für einen Sachverhalt ein, der über die Semantikdefinition
bereits gegeben ist. Man mache sich klar, daß die Anwendung der Definition auf ein konkretes Prädikat
eine rein syntaktische Aktion ist. Mit ihr können wir nun den Ersetzungsprozeß von Variablen beschreiben.
Definition 2.2.2 (Ersetzung von Variablen durch Terme)
Sei x eine Variable, t ein Term und A ein Ausdruck. Dann bezeichnet A
t
den Ausdruck der dadurch
x
entsteht, daß alle freien Vorkommen von x durch t textuell ersetzt werden.
Diese Definitionen ermöglichen es, einen Ableitungskalkül für die Prädikatenlogik präzise zu beschreiben.
2.2.5 Ableitungskalkül für die Prädikatenlogik
Axiomenschemata:
A1–A3 Axiome L1–L3 der Aussagenlogik
A4 ((...(x1 = y1) ∧ ...)...) ∧ (xn = yn) ⇒ (p(x1, ..., xn) ⇔ p(y1, ..., yn))
für alle n-stelligen Prädikat Symbole p (n ≥ 1)
A5 ((...(x1 = y1) ∧ ...)...) ∧ (xn = yn) ⇒ (f(x1, ..., xn)=f(y1, ..., yn))
für alle n-stelligen Funktions Symbole f (n ≥ 1)
Ableitungsregeln:
R1–R9 Regeln ⇒ -E, ⇒ -I, ∧ -I, ∧ -E, ∨-I, ∨ -E, ⇔ -I, ⇔ -E, Subst der Aussagenlogik
R10 ∃-I
A w
x
∃x : Bereich . A
falls w ∈ Bereich
R11 ∃-E ∃x : Bereich . A1, A1 ⇒ A2
A2
R12 ∀-I A
∀x : Bereich . A
R13 ∀-E
R14
R15
R16
R17
R18–R19
∀x : Bereich . A
A w
x
falls w ∈ Bereich
(∃x : Bereich−{w} . A) ∨ ((x = w) ⇒ A)
falls w ∈ Bereich
∃x : Bereich . A
∃x : Bereich . A
(∃x : Bereich−{w} . A) ∨ ((x = w) ⇒ A)
(∀x : Bereich−{w} . A) ∧ ((x = w) ⇒ A)
∀x : Bereich . A
∀x : Bereich . A
(∀x : Bereich−{w} . A) ∧ ((x = w) ⇒ A)
A w
x (x = w) ⇒ A
(x = w) ⇒ A A w
x
falls x in A2 nicht frei vorkommt
falls w ∈ Bereich
falls w ∈ Bereich
falls w ∈ Bereich
Abbildung 2.14: Ableitungskalkül für die Prädikatenlogik 1. Stufe
Die Zusammenstellung in Abbildung 2.14 ist [Gries, 1981] entnommen und auf unsere Syntax angepaßt. Variablen
werden mit kleinen Buchstaben bezeichnet, Aussagenvariablen mit großen. Alle Variablen sind implizit
allquantifiziert, d.h. die folgenden Axiomenschemata gelten unabhängig von den verwendeten Variablennamen.
Die Regeln R14–R19 sind nicht notwendig, da sie sich aus den anderen ableiten lassen. Da unser Interesse