Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

Kette von ∨ bzw. ∧ Operationen realisiert werden kann. Erst wenn Bereich Mengen enhält, die nicht mehr
endlich sind, erhalten die beiden Operatoren eine, über die Aussagenlogik hinausgehende Bedeutung. Man
mache sich jedoch klar, daß obige, konstruktive Semantikbeschreibung bei unendlichen Bereichen nicht immer
terminiert. D.h. im Fall des All-Operators wird die Berechnung der Semantik genau dann nicht abbrechen,
wenn der Bereich unendlich ist und das Prädikat für alle Belegungen wahr liefert.
In der Aussagenlogik galt das Prinzip, daß wir eine Variable mit einem Wert belegen dürfen, solange wir
alle Vorkommen dieser Variablen konsistent ersetzen. In der Prädikatenlogik gilt dieses nun nicht mehr.
Das Prädikat A ⇒ (∃x : 1..15 . A) hat völlig unterschiedliche Bedeutungen, abhängig davon, ob x in A
vorkommt. Falls x in A nicht vorkommt, dann ist dieses Prädikat immer wahr, unabhängig von der sonstigen
Struktur von A (es kann dann auf das Axiom A ⇒ A der Aussagenlogik zurückgeführt werden). Sei A jedoch
x > 17, dann spielt die Belegung von x in A eine entscheidende Rolle, es gilt nämlich für die Belegung von
x mit 13 (state = [ ..., x ↦→ 13] ) , daß 13 > 17 ⇒ (∃x : 1..15 . x > 17) mit unserer Semantik wahr liefert,
während wir für die Belegung von x mit 18 falsch erhalten. Wie man deutlich sieht, wird das x in dem
’zweiten’ A unseres Prädikates durch den Quantor gebunden, es ist also lediglich lokal ’bekannt’. Damit wird
die Belegung für x in unserem Prädikat nicht für das x in dem zweiten A, das ’lokale’ x wirksam. Falls A
andererseits die Form ∃x : Bereich . B hat, dann ergibt sich die Bedeutung des Gesamtprädikates wiederum
unabhängig von einer Belegung von x, wir haben wiederum eine Tautologie. Genauer gesagt bedeutet dies,
daß wir zwei unterschiedliche Prädikate haben, abhängig von dem Vorkommen von x in A. Derartige lokale
Vorkommen haben wir natürlich auch bei Funktionssymbolen wie n i=1 , n
i=1 , n i=1 und ähnlichen anderen.
Auch hier ist i nur ein lokaler Parameter.
Die obige Semantikfunktion realisiert also die Vorstellung, daß Variable, die durch einen Quantor oder ein
Funktionssymbol ’gebunden’ werden, anders zu behandeln sind, als ’freie’ Variable.
Sei x eine Variable und A ein Prädikat, dann wird x als gebunden bezeichnet, falls es in einem Unterausdruck
von A der Form ∃x : Bereich . A bzw. ∀x : Bereich . A auftritt, sonst bezeichnen wir das Vorkommen als
frei. Entsprechendes gilt auch für die Bezeichner, mit denen Bereiche bei Funktionssymbolen beschrieben
werden (also z.B. i bei 100 i=1). Damit ist auch klar, daß x in x > 17 ⇒ (∃x : 1..15 . x > 17) sowohl frei als auch
gebunden vorkommt. Da in obiger Definition nicht ganz klar ist, was ein Unterausdruck ist, hier eine inhaltlich
identische, aber präzisere Definition.
Definition 2.2.1 (Freies und gebundenes Vorkommen von Variablen)
Seien x eine Variable, A und B Prädikate, f ein Funktions Symbol, p ein Prädikat Symbol und t1, ..., tn Terme.
Das freie Auftreten von x in einem Ausdruck ist durch die folgenden Bedingungen definiert.
• jedes Vorkommen von x in einer Atomaraussage ist frei
• x ist frei in f(x1, ..., xn), wenn f entweder ein Funktionssymbol ohne Bereichsangabe ist, oder x in der
Bereichbeschreibung nicht entsprechend verwendet wird 7
• x ist frei in f(t1, ..., tn), falls x in mindestens einem ti frei ist
• x ist frei in p(t1, ..., tn) oder t1 = t2, falls x in mindestens einem ti frei ist
• x ist frei in ¬ A, wenn x in A frei ist
• x ist frei in A op B, wenn x in A oder in B frei ist (op aus ∧, ∨, ⇒ , ⇔ )
• x ist frei in ∃y : Bereich . A bzw. ∀y : Bereich . A, wenn x in A frei vorkommt und x verschieden y ist
Px1,...,xn zeigt an, daß P ein Prädikat mit den freien Variablen x1, ..., xn ist.
Das gebundene Auftreten von x in einem Ausdruck ist durch die folgenden Bedingungen definiert.
• kein Vorkommen von x in einer Atomaraussage ist gebunden
• x ist gebunden in f(x1, ..., xn), wenn f ein Funktionssymbol mit Bereichsangabe ist und x in der Bereichbeschreibung
entsprechend verwendet wird
• x ist gebunden in f(t1, ..., tn), falls x in mindestens einem ti gebunden ist
ist in diesem Sinne ein Funktionssymbol mit Bereichsangabe, und i ist gebunden, während n frei ist.
7 n
i=1