Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

s (T, state) = wahr
s (F, state) = falsch
s (Prädikat Symbol (termlist), state) = B(Prädikat Symbol) (slist (termlist, state))
s (Konstantes Prädikat, state) = B(Konstantes Prädikat)
s (Term1 = Term2, state) = if s (Term1, state) = s (Term2, state)
then wahr else falsch
s ((¬ Satz), state) = (nicht s (Satz, state))
s ((Satz1 ∧ Satz), state) = (s (Satz1, state) und s (Satz2, state))
s ((Satz1 ∨ Satz), state) = (s (Satz1, state) oder s (Satz2, state))
s ((Satz1 ⇒ Satz), state) = (s (Satz1, state) impl s (Satz2, state))
s ((Satz1 ⇔ Satz), state) = (s (Satz1, state) gleich s (Satz2, state))
s ((∀ Variable : Bereich . Satz), state) = if Bereich = {} then wahr
else let x ∈ Bereich in
s (Satz, state + [Variable ↦→ x]) und
s ((∀ Variable : Bereich-{x} . Satz), state)
s ((∃ Variable : Bereich . Satz ), state) = if Bereich = {} then falsch
else let x ∈ Bereich in
s (Satz, state + [Variable ↦→ x]) oder
s ((∃ Variable : Bereich-{x} . Satz), state)
s (Variable, state) = state(Variable)
s (Konstante, state) = B(Konstante)
s (Funktions Symbol (termlist), state) = B(Funktions Symbol) (slist (termlist, state))
slist (termlist, state) = if einelementig(termlist)
then s (termlist, state)
else s (head(termlist), state) cons
slist (tail(termlist), state))
Abbildung 2.13: Semantik prädikatenlogischer Formeln mit endlichen Bereichen
Analog zu dem ’if then else’-Konstrukt, wird hier eine weitere, die Bildung der Zielsprachensätze betreffende
Konstruktion verwandt, das ’let’-Konstrukt. ‘let x = Ausdruck1 in Ausdruck2’ bedeutet, daß einmal der
Wert von Ausdruck1 bestimmt wird und dann alle Vorkommen von x in Ausdruck2 durch den Wert von
Ausdruck1 ersetzt werden. Erst dann erfolgt die Bestimmung von Ausdruck2.
Eine Liste ist eine geordnete Reihung ihrer Elemente, in der im Gegensatz zu einer Menge Elemente auch
mehrfach vorkommen dürfen. Die nicht weiter definierte Funktion tail angewandt auf eine Liste von Termen
liefert uns die Liste der Terme, die sich aus der Ausgangsliste ohne das erste Element ergeben. Das erste
Element (der “Kopf”) wird von der Funktion head geliefert. Die Funktion einelementig testet, ob eine
Liste nur ein Element hat und die (Infix-)Funktion cons hängt ein Element vor den Anfang einer Liste. Der
Ausdruck state + [Variable ↦→ e] bedeutet, daß sich die Funktionstabelle für diesen Ausdruck von der des
Zustandes state nur an der Stelle Variable unterscheidet. Sie hat hier den Eintrag Variable ↦→ e.
Die auf den ersten Blick vielleicht aufwendige Konstruktion im Fall des ∃ und des ∀ Operators dient nur dazu,
die Elemente aus der Menge Bereich 6 aufzuzählen. ’ . ’ trennt dabei die Festlegung der durch den Quantor
gebundenen Variablen und die Bereichsangabe von der eigentlichen Aussage. Man mache sich klar, daß im
Fall endlicher Bereiche die Bedeutung der beiden Operatoren durch eine (unter Umständen ziemlich lange)
6 An dieser Stelle sei noch einmal deutlich herausgehoben, daß im Rahmen dieser Vorlesung nur Quantoren mit endlichen
Bereichen benutzt werden. Die allgemeine Logik erklärt Quantoren natürlich auch für unendliche Bereiche wie den der natürlichen
Zahlen. Dabei ändert sich die Syntax nicht im geringsten, aber die obige, konstruktive Definition der Semantik muß durch eine
weniger konstruktive ersetzt werden, welche Zielsprachenoperatoren “für alle” und “es gibt” benutzt. Die Bedeutung solcher
Zielsprachenoperatoren kann allerdings wesentlich weniger klar angegeben werden als z.B. die von und und ist deshalb in der
Fachwelt durchaus umstritten.