Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

Operator Priorität
¬, ∃, ∀ 4 (höchste Priorität)
∧ 3
∨ 2
⇒ , ⇔ 1
Weiter vereinbaren wir, daß die äußersten Klammern ebenfalls wegfallen können. Mithin schreiben wir, wie bei
der Aussagenlogik, A ∧¬B statt (A ∧(¬B)). Wir verzichten darauf eine Grammatik anzugeben, die diese Priorisierung
durch ihre Struktur deutlich macht, da wir für die später folgende Semantikbeschreibung gerne eine
möglichst einfache Grammatik, sprich eine mit wenigen Regeln, zu Grund legen möchten. Den üblichen Konventionen
entsprechend schreiben wir zweistellige Funktions- und Prädikatssymbole auch in Infix-Notation,
d.h. a+b statt +(a,b) und a=b statt =(a,b).
Auf eine genaue Beschreibung der möglichen Ausdrücke für den Bereich verzichten wir hier. Üblich sind eine
Mengenbezeichnung, die konkreten Angabe einer Menge durch Aufzählung oder die Angabe eines Bereiches wie
[Rot...Blau] oder [1..7] aus einer Menge, auf der eine Ordnungsrelation ’größer’ definiert ist. Wir vereinbaren,
daß eine durch [anf .. ende] definierte Menge genau dann leer ist, wenn anf größer als ende ist.
Mit der hier vorgestellten Prädikatenlogik ist es auch möglich, darzustellen, daß ’Peter ist der siebte Schüler
im Alphabet’ gilt. Um derartige Aussagen beschreiben zu können, muß man einen Formalismus haben um
den ’siebten’ bezeichnen zu können, was aber mit Funktions- und Prädikatssymbolen kein Problem ist. Wir
schreiben einfach: Alphabet(7) = Peter . Darüber hinaus haben wir eine Handhabe, Aussagen über alle Schüler
zu machen, denn wir können schreiben: ∃x : 1..Anz Schüler . ((Alphabet(x) = Peter) ∧ (x > 5))
2.2.4 Semantik der Prädikatenlogik
Bei der Aussagenlogik hatten wir den Begriff des Zustandes eingeführt, um Belegungen von Bezeichnern
mit (Warheits-)werten beschreiben zu können. Diesen benötigen wir auch hier wieder, allerdingsin einem wesentlich
erweiterten Sinne, da wir neben Bezeichnern für Aussagen (in der jeztigen Terminologie konstante
Prädikate) noch Variablen für Elemente einer Grundmenge, Konstanten, Funktionssymbole und Prädikatssymbole
eingeführt haben. Wir brauchen daher eine Abbildung, die all diese Quelloperatoren in Zieloperatoren
(Elemente der Grundmenge, Funktionen und Prädikate über der Grundmenge) abbildet. Üblicherweise wird
diese Abbildung in der Logik als Interpretation bezeichnet.
In den meisten praktischen Anwendungen der Prädikatenlogik hat es sich eingebürgert, diese Interpretation
aufzutrennen in eine Bedeutung B für Funktions- und Prädikatensymbole (incl. der Konstanten), die einmal
fixiert wird, und eine Funktion, welche die Zustände der Variablen notiert. Wir erhalten:
Zustand : Variable → Grundmenge
B : Prädikat Symbol → Ziel Prädikat
| Konstantes Prädikat → Ziel Wahrheitswert
| Funktions Symbol → Ziel Funktion
| Konstante → Ziel Konstante
Die Definitionsgleichungen für die Semantik der Prädikatenlogik sind eine Erweiterung der Semantik der
Aussagenlogik. Für die Funktions- und Prädikatensymbole muß zunächst eine Bedeutung B festgelegt werden,
bevor über den Wert von Sätzen, die solche Symbole enthalten, gesprochen werden kann. Abbildung 2.13 faßt
alle Gleichungen zusammen.
Die ’if then else’-Konstruktion ist ein Ausdruck der Metasprache und sagt uns nur, wie die Sätze der Zielsprache
zu bilden sind. Aus Gründen des Verständnisses verzichten wir hier auf eine genauere Definition und
gehen davon aus, daß diese Konstruktion selbsterklärend ist. Es ist jedoch zu diesem intuitiven Verständnis
hinzuzufügen, daß jeweils nur der Zweig der Fallunterscheidung berücksichtigt wird, dessen Bedingung erfüllt
ist. Eine Auswertung des jeweils anderen findet nicht statt.