Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

2. Es werden Quantoren eingeführt, nämlich ∃ und ∀. Ersterer bedeutet ’es gibt’, der zweite ’für alle’. Diese
werden auf Variable angewendet, die Elemente eines gewissen Bereichs bezeichnen.
Mit Quantoren wird es möglich, Aussagen über die Elemente der Grundmengen der Variablen zu treffen.
Steht beispielsweise Blume für ein nicht weiter beschriebenes Element aus der Grundmenge aller Blumen,
dann ist Blume eine Variable und die Aussage ∀ Blume:{einjährig} . A bedeutet, daß für alle Elemente
aus der Blumenmenge, die einjährig sind (also zum Bereich {einjährig} gehören), die Aussage A gilt. Diese
erweiterten Aussagen werden als Sätze bezeichnet. Die bereits bekannte Aussagenlogik ist ein Teilbereich der
Prädikatenlogik.
Im folgenden werden wir die Syntax und die Semantik der Prädikatenlogik erster Stufe und einen entsprechenden
Kalkül vorstellen. Wir haben uns bemüht, Syntax und Semantik vollständig nach den bisher dargestellten
Konzepten zu definieren. Damit wird die Möglichkeit geboten diese, quasi nebenbei, mitzuvertiefen.
2.2.3 Syntax der Prädikatenlogik
Die Abbildung 2.12 beschreibt die Syntax der Prädikatenlogik.
Startsymbol: Satz
Alphabet:
Grundmengen: Prädikat Symbol, Konstantes Prädikat, Funktions Symbol,
Konstante, Variable, Bereich
Sonstige Symbole ∧, ∨, ⇒ , ⇔ , ∀, ∃, . , T, F, ), (, =, ,
Regeln: Satz ::= Atomaraussage
| ¬ Satz | ( Satz ∧ Satz ) | ( Satz ∨ Satz )
| ( Satz ⇒ Satz ) | ( Satz ⇔ Satz )
| ( ∀ Variable : Bereich . Satz )
| ( ∃ Variable : Bereich . Satz )
Atomaraussage ::= T | F | ( Term = Term )
| Konstantes Prädikat
| Prädikat Symbol ( Termlist )
Termlist ::= Term | Term , Termlist
Term ::= Konstante | Variable
| Funktions Symbol ( Termlist )
Kontextbedingungen:
Genau dann, wenn t1, t2, ..., tn Terme sind und p ein n-stelliges Element aus Prädikat Symbol
ist, ist auch p(t1, t2, ..., tn) ein Satz.
Genau dann wenn t1, t2, ..., tn Terme sind und f ein n-stelliges Element aus Funktions Symbol
ist, ist auch f(t1, t2, ..., tn) ein Term.
Bereich ist immer eine Menge, deren Elemente Variable als Werte annehmen kann. Daher
ist der Unterschied zwischen Wert und Variable zu beachten, d.h. kein Element aus Variable
darf als Name in dom(Bereich) vorkommen
Abbildung 2.12: Syntax der Prädikatenlogik
Wir vereinbaren, daß aus Gründen der Lesbarkeit Klammern gemäß der Wertigkeit der Operatoren weggelassen
werden können. Dabei gilt, daß der Operator, der nach der folgenden Tabelle (aus [Loeckx & Sieber, 1987])
die geringsten Priorität hat, am schwächsten bindet: