Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

pc MPicknick
falsch falsch falsch
falsch wahr wahr
wahr falsch wahr
wahr wahr falsch
Der Leser möge sich überlegen, daß dies seine Interpretation des umgangssprachlichen Satzes abdeckt. Beide
Wertetabellen (die angestrebte und die erreichte) sind identisch, mithin formalisiert unser Ausdruck das
Gewünschte. Zum Vergleich wäre es sinnvoll, die Wertetabelle für den Ausdruck (r ⇒ npc) aufzustellen.
An dieser Stelle sei noch auf eine prinzipielle Beschränkung aller hier vorgestellten Logiken hingewiesen.
Diese besteht in der für uns ganz wesentlichen Eigenschaft der formalen Logik, dem Extensionalitätsprinzip.
Dieses besagt, daß der Wahrheitswert einer Aussage nur von der formalen Struktur der Aussage und den
Wahrheitswerten der Teilaussagen abhängt, nicht aber von inhaltlichen Bezügen zwischen den Teilaussagen.
Eine Konsequenz dessen ist, daß der Satz
Lessing schrieb ’Minna von Barnhelm’, während sich Preußen und Österreich im siebenjährigen Krieg bekämpften.
innerhalb der hier vorgestellten Logik nicht formulierbar ist. Denn wenn er formulierbar wäre, müßte die
Beurteilung des Wahrheitsgehaltes der Gesamtenaussage nur von dem Wahrheitsgehalt der beiden Teilaussagen
(Lessing schrieb ’Minna von Barnhelm’ und Preußen und Österreich bekämpften sich im siebenjährigen Krieg)
abhängen. Der Operator während zwingt jedoch dazu, zu prüfen, ob ein (zeitlicher) Zusammenhang zwischen
dem schriftstellerischen Tun und dem siebenjährigen Krieg besteht. Ersetzt man nämlich die wahre Teilaussage
Lessing schrieb ’Minna von Barnhelm’ durch die ebenfalls wahre Teilaussage Lessing schrieb ’Nathan der
Weise’, so wird die Gesamtaussage falsch. Das Beispiel entstammt [Hermes, 1972].
2.2.2 Prädikatenlogik
Die Aussagenlogik geht von Grundaussagen aus, die entweder wahr oder falsch sein können, sagt aber nichts
über die innere Struktur dieser Aussagen aus. Umfangreichere mathematische Theorien lassen sich aber nur
darstellen, wenn auch die innere Struktur von Aussagen beschrieben werden kann.
Mit den Mitteln der Aussagenlogik ist es z.B. nicht möglich, die Aussage Alle durch 4 ganzzahlig teilbaren
natürlichen Zahlen sind auch durch 2 teilbar weiter zu analysieren. Sie muß dort als atomare Aussage stehen
bleiben. Um diese Aussage weiter zu zerlegen, würde man gemeinhin eine Konjunktion über alle Elemente
angeben, für die die Aussage gelten soll. D.h. wir würden versuchen, obige Aussage umzuschreiben in 4 ist
durch 4 teilbar und 4 ist durch 2 teilbar und 8 ist durch 4 teilbar 8 ist durch 2 teilbar und .... Dies entspricht unserem
Verständnis von ’alle’. In diesem Fall ist dies jedoch nicht möglich. Wir haben nur Aussagen mit endlich vielen
Konjunktionen eingeführt, benötigen jedoch eine unendliche Anzahl, da die Menge, über deren Elemente eine
Aussage getroffen wird, unendlich viele dieser Elemente hat. Mithin enthält die Aussage, die wir durch diese
Umformung erhalten, unendlich viele Konjunktionen. Wir haben also keine Möglichkeit, auf Grund der Werte
der atomaren Aussagen (z.B. 4 ist durch 4 teilbar) den Wahrheitswert der gesamten Aussage zu bestimmen; wir
werden nämlich niemals fertig. Dieses Problem tritt bei der Beschreibung aller Zusammenhänge auf, bei denen
Aussagen über einen unendlich großen Wertebereich gemacht werden, z.B. auch bei allen mathematischen
Funktionen, die über den reellen Zahlen definiert werden. Die bekannnte Schreibweise für die Fakultätsfunktion
1 , falls x = 0 oder x = 1
f(x) =
x ∗ f(x − 1) , sonst
ist eine implizite All-Quantifizierung über alle Werte, die x annehmen kann.
Die Prädikatenlogik führt uns hier einen Schritt weiter. Hier werden Bezeichner eingeführt (im folgenden
auch als Variable benannt), die nicht nur für Wahrheitswerte stehen können, sondern auch für andere Objekte
(ganze Zahlen, natürliche Zahlen, Blumensorten, Studenten usw.). Aussagen werden zweifach verallgemeinert:
1. In einer Aussage kann eine Aussagenvariable durch einen beliebigen Ausdruck ersetzt werden, der einen
Wahrheitswert liefert (z.B. a ≥ b)