Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

gelöst werden kann. Eine andere Aufgabenstellung kann einen anderen Kalkül sinnvoll erscheinen lassen.
Im Zusammenhang mit der Einführung der Programmiersprache Eiffel werden wir sehen, wie Programme
und Aussagen über Programme als Logik aufgefaßt werden können und wie neue Aussagen abgeleitet werden
können. Die Anwendung dessen ist die Verifikation von Programmen. Dort wird es dann durchaus Sinn
machen, zur Abkürzung des Verfahrens die im Anhang angegebenen Regeln und Tautologien zu verwenden.
2.1.5 Zusammenhang zwischen Syntax, Ableitungssystem und Semantik
Um die zu Beginn des Kapitels erwähnte Kommunikation zu ermöglichen, müssen wir in der Lage sein, Aussagen
innerhalb des syntaktischen Modells zu modifizieren, um zu entscheiden, ob zwei syntakische Aussagen
äquivalent sind, oder ob eine andere Beziehung zwischen ihnen besteht. Diese Entscheidung wird bereits im
Fall der Aussagenlogik sehr mühsam, wenn eine Vielzahl von Variablen in den zur Diskussion stehenden
Aussagen auftritt (die Wertetabellen werden leicht sehr umfänglich). Kurzum, wir brauchen die Möglichkeit
innerhalb des Modells zu rechnen. Genau diese wird durch ein Ableitungssystem zur Verfügung gestellt.
Das folgende Diagramm macht deutlich, daß für die Manipulation von syntaktischen Aussagen zwei Möglichkeiten
bestehen. Entweder man transfomiert die syntaktische Aussage in eine semantische und ’berechnet’
dann den Wert innerhalb der Semantik oder man transformiert die syntaktische Aussage zunächst via
Ableitungssystem in eine vereinfachte. Anschließend wird diese vereinfachte Aussage dann in der Semantik
interpretiert.
syntaktische Aussage
Interpretation (s)
syntaktische Ableitung
Rechnen im syntaktischen Modell
✲
❍
❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❍❥
syntaktische Aussage
Interpretation
(s)
❄
semantische Ergebnisse
Abbildung 2.11: Zusammenhang zwischen Syntax, Semantik und Ableitungssystem
Bei den bislang gemachten Überlegungen zur Aussagenlogik, haben wir uns nur mit der Semantik der betrachteten
logischen Operatoren ( ∧, ∨, ...) beschäftigt und gefordert, daß für die atomaren Aussagen etwas wie eine
Zustandstabelle existiert. Mit der Einführung der Prädikatenlogik werden wir darüber hinaus fordern, daß für
Funktionssymbole (z.B. in folgendem Beispiel) ein angemessenes semantisches Äquivalent existiert. Für
die Bestimmung des Wahrheitswertes eines logischen Ausdrucks oder für seine Vereinfachung erweist es sich
jedoch häufig als notwendig, zusätzlich zu den bisher erwähnten Informationen Wissen über die inhaltlichen
Zusammenhänge zwischen Teilaussagen zu haben. Ein Beispiel möge dieses verdeutlichen. Da der erste Teil
der Konjunktion den zweiten inhaltlich ’umfaßt’, kann der Ausdruck
(x + 5 i=0 i) < 100 ∧ (x + 5 i=3 i) < 200
mit dem entsprechenden Wissen aus der Arithmetik vereinfacht werden zu x + 5 i=0 i < 100 .
Wir wissen nämlich, daß aus (x + 15 < 100) geschlossen werden kann auf (x + 15 < 100) ∧(x + 12 < 200).
Umformungen dieser Art sind in dem reinen Logikkalkül nicht mehr faßbar. An dieser Stelle kommt eine
weitere ’Sorte’ des Wissens (auch als Domain-Wissen bezeichnet) ins Spiel. Es handelt sich um Informationen
über die unterliegenden Datenstrukturen, oder vielleicht besser, über die Eigenschaften der verwendeten Funktionssymbole
und der atomaren Aussagen. Auch dieses Wissen kann in einem geeigneten Kalkül formalisiert
werden.