Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

Axiomenschemata:
L1 A ∨ ¬A
L2 (A ∧ ¬A) ⇒ B
L3 (A ⇒ (B ∧ ¬B)) ⇒ ¬A
Ableitungsregeln:
⇒ -E
⇒ -I
∧ -I
∧ -E
∨ -I
∨ -E
⇔ -I
⇔ -E
Subst
Abbildung 2.10: Kalkül für die Aussagenlogik
E1, E1 ⇒ E2
E2
[E1]E2
E1 ⇒ E2
E1, ..., En
E1 ∧ ... ∧ En
E1 ∧ ... ∧ En
Ei
Ei
E1 ∨ ... ∨ En
E1 ∨ ... ∨ En, E1 ⇒ E, ..., En ⇒ E
E
E1 ⇒ E2, E2 ⇒ E1
E1 ⇔ E2
E1 ⇔ E2
E1 ⇒ E2, E2 ⇒ E1
E1 ⇔ E2
E(E1) ⇔ E(E2), E(E2) ⇔ E(E1)
Mit den hier angegebenen Regeln (speziell ∨-I) kann z.B. aus der Annahme ’es regnet’ geschlossen werden
auf die Aussage ’es regnet ∨ die Sonne scheint’.
Die Regel ‘ ⇒ -I’ stellt eine Besonderheit in diesem Kalkül dar. Sie drückt aus, daß die Implikation E1 ⇒ E2
genau dem Gedanken “aus E1 folgt E2” entspricht. Sie verlangt als Prämisse nur, daß E2 unter der Annahme,
daß E1 wahr ist – geschrieben als [E1]E2 – erfüllt sein muß. Hieraus darf man dann E1 ⇒ E2 schließen, ohne
daß es hierfür noch irgendeiner Annahme bedarf. Da diese Regel eine gewisse formale Komplikation in den
Kalkül mit hineinbringt, wird sie oft aus diesem hinausgenommen und durch eine Reihe von Axiomen ersetzt,
welche Folgerungen dieser Regel sind:
L4 A ⇒ A
L5 A ⇒ (B ⇒ A)
L6 ((A ⇒ (B ⇒ C)) ∧(A ⇒ B)) ⇒ (A ⇒ C)
L7 ((A ⇒ B) ∧(B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C)
L8 (A ⇒ B) ⇒ (¬B ⇒ ¬A)
L9 (¬(¬A)) ⇔ A
L10 ((A ∨B) ∧(¬A ∨C)) ⇒ B ∨C
Als Beispiel zeigen wir, wie sich das Transitivitätsaxiom L7 mit ⇒ -I ohne die Axiome L4–L10 beweisen läßt:
Beispiel 2.1.9 Wir nehmen an (A ⇒ B) ∧(B ⇒ C) und A sei erfüllt. Eine mögliche Ableitung ist:
(1) (A ⇒ B) ∧(B ⇒ C) Annahme
(2) A Annahme
(3) (A ⇒ B) ∧-E angewendet auf (1)
(4) (B ⇒ C) ∧-E angewendet auf (1)
(5) B ⇒ -E angewendet auf (2) und (3)
(6) C ⇒ -E angewendet auf (5) und (4)
(7) (A ⇒ C) ⇒ -I angewendet auf (2) und (6) — (7) gilt ohne Annahme (2)
(8) ((A ⇒ B) ∧(B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C) ⇒ -I angewendet auf (1) und (7) — (8) gilt ohne jede Annahme
Die Hinzunahme der Axiome L4–L10 läßt den Kalkül weniger systematisch erscheinen, macht ihn aber leichter
handhabbar. Generell ist bei Ableitungssystemen zu berücksichtigen, daß es den Kalkül für eine formale
Sprache nicht gibt. Regeln und Axiome können so gewählt werden, daß die gestellte Aufgabe bestmöglich