Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

Semantik ändert, durch die Konklusion ersetzen.
Hier werden Axiomenschemata angegeben. Diese unterscheiden sich von Axiomen dadurch, daß sie nur die
bereits erwähnten Aussagenvariablen enthalten. Jede Aussagenvariable kann durch eine beliebige (syntaktisch
korrekte) Aussage ersetzt werden. Hierbei muß jedoch darauf geachtet werden, daß gleiche Aussagenvariablen
durch gleiche Aussagen zu ersetzten sind. Dies bedeutet natürlich auch, daß die Menge der Axiome unendlich
viele Elemente enthält. Ein gültiges Axiom ist damit z.B.:
Mit der Schreibweise P1,...,Pn
K
(a ∨b) ⇒ ((c ∧d) ⇒ (a ∨b))
beschreiben wir genaugenommen Regelschemata, da die Prämissen und die
Konklusion, wie bereits erwähnt, nur Aussagenvariable enthalten. Die Anwendung eines Regelschemas auf
konkrete Prämissen wird mit
A ⊢R B
bezeichnet. Dabei ist A die Menge der konkreten Prämissen und B die konkrete Konklusion und R die
Bezeichnung für die jeweilige Regel. A ⊢R B gilt, wenn die Aussagenvariablen der Regel R so durch Aussagen
ersetzt werden können, daß die Prämissen in A enthalten sind und B die Konklusion ist.
Entsprechend dem Begriff der Äquivalenz benötigen wir hier den Begriff der Ableitbarkeit.
Definition 2.1.6 (Ableitbarkeit)
Seien S die Menge der Regeln eines Kalküls, A eine (endliche) Menge von Formeln der Logiksprache
und B eine Formel der Logiksprache. Dann bezeichnen wir B als aus A ableitbar, wenn es eine Folge
R1 . . . Rn von Regeln aus S und eine eine Folge von Formeln B1 . . . Bn mit Bn = B gibt, derart, daß gilt
A1 ⊢R1 B1, . . . , Aj ⊢Rj Bj, . . . , An ⊢Rn B
wobei Aj die Menge bezeichnet, welche die Axiome, die Formeln aus A und alle Bl mit 1 ≤ l < k enthält.
Falls A ausschließlich Axiome enthält, dann bezeichnen wir B als ableitbar (ohne den Zusatz ‘aus A’).
Damit die Semantik der betrachteten Sätze nicht in unzulässiger Weise verändert wird, muß sichergestellt
werden, daß der Kalkül korrekt (widerspruchsfrei) ist, d.h. daß nur semantisch wahre Aussagen (Tautologien)
abgeleitet werden können. Wünschenswert ist ebenfalls, daß alle Tautologien abgeleitet werden können. Ist
dies der Fall, dann heißt der Kalkül vollständig. Der Begriff der Tautologie ist rein semantischer Natur und
muß für jede Logik neu definiert werden. An dieser Stelle wollen wir ihn nur für die Aussagenlogik einführen.
Definition 2.1.7 (Tautologien in der Aussagenlogik)
Aussagen, für die in allen Zuständen gilt: s (Aussage, state) = wahr heißen Tautologien oder allgemeingültige
Aussagen.
Die Frage nach dem Nachweis der Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit verschieben wir auf später. An
dieser Stelle soll nur noch darauf hingewiesen werden, daß es nicht für jede formale Sprache vollständige und
widerspruchsfreie Kalküle geben kann. Die Gründe hierfür sind theoretischer Natur und werden in Rahmen
der theoretischen Informatik eingeführt. Als Beispiel für einen Kalkül soll einer für die Aussagenlogik dienen,
der in Abbildung 2.10 (nach [Davis, 1989], [Gries, 1981] und [Loeckx & Sieber, 1987]) zusammengestellt ist.
Die ganz links stehenden Bezeichnungen sind die Namen, unter denen auf eine Regel Bezug genommen werden
kann. ‘o-I’ steht für die Einführung und ‘o-E’ für die Elimination des Operators ‘o’. Die Regel ‘ ⇒ -E’ ist auch
bekannt unter dem Namen modus ponens (Abtrennungsregel) und wird zuweilen mp genannt. Subst bezeichnet
die Regel für die Substitution. In der Substitutionsregeln ist mit E(E1) gemeint, daß in der Aussage E1 der
(Teil)term p durch einen anderen ersetzt wird. Dabei ist E eine Funktion auf (Teil)termen von E1. Ein Beispiel
möge dies verdeutlichen:
Beispiel 2.1.8
Sei E(p) = d ∨ p, mit E1 = b ⇒ c und E2 = ¬b ∨ c.
Dann haben wir E(E1) = d ∨(b ⇒ c) und E(E2) = d ∨(¬b ∨ c)
Dann erhalten wir durch Anwendung obiger Regel Subst aus der bekannten Äquivalenz (b ⇒ c) ≡ (¬b ∨c)
die Äquivalenz (d ∨(b ⇒ c)) ≡ (d ∨(¬b ∨c))