Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

K1: Kommutativ-Gesetz E1 ∧E2 ≡ E2 ∧ E1
E1 ∨E2 ≡ E2 ∨ E1
E1 ⇔ E2 ≡ E2 ⇔ E1
K2: Assoziativ-Gesetz E1 ∧(E2 ∧E3) ≡ (E1 ∧ E2) ∧ E3
E1 ∨(E2 ∨E3) ≡ (E1 ∨ E2) ∨ E3
K3: Distributiv-Gesetz E1 ∨(E2 ∧E3) ≡ (E1 ∨ E2) ∧ (E1 ∨ E3)
E1 ∧(E2 ∨E3) ≡ (E1 ∧ E2) ∨ (E1 ∧ E3)
K4: Gesetz von De Morgan ¬(E1 ∧E2) ≡ ¬E1 ∨ ¬E2
¬(E1 ∨E2) ≡ ¬E1 ∧ ¬E2
K5: Gesetz von der doppelten Negation ¬(¬E1) ≡ E1
K6: Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten ¬E1 ∨ E1 ≡ T
K7: Gesetz vom Widerspruch ¬E1 ∧ E1 ≡ F
K8: Gesetz von der Implikation E1 ⇒ E2 ≡ ¬E1 ∨ E2
T ⇒ E2 ≡ E2
K9: Gesetz von der Äquivalenz E1 ⇔ E2 ≡ (E1 ⇒ E2) ∧ (E2 ⇒ E1)
K10: Gesetz der Oder-Vereinfachung E1 ∨E1 ≡ E1
E1 ∨T ≡ T
E1 ∨F ≡ E1
E1 ∨(E1 ∧E2) ≡ E1
K11: Gesetz der Und-Vereinfachung E1 ∧E1 ≡ E1
E1 ∧T ≡ E1
E1 ∧F ≡ F
K12: Gesetz der Identität E1 ≡ E1
2.1.4.2 Ableitung
E1 ∧(E1 ∨E2) ≡ E1
Abbildung 2.9: Konversionsregeln für die Aussagenlogik
Im Gegensatz zu Konversion geht es bei der Ableitung darum, aus einer gegebenen Menge von Axiomen
syntaktisch auf eine vorgegebene Aussage zu schließen (bottom-up) oder umgekehrt (top-down). Axiome
sind dabei Voraussetzungen. In der Logik werden Aussagen, die aus Axiomen abgeleitet werden können, als
Theoreme bezeichnet. Die Schlüsse, die dabei gezogen werden sollen, sind von der Art:
Wenn es in Tokio regnet, dann schütteln sich in Tokio die Hunde.
Es regnet in Tokio.
Schluß: Also schütteln sich in Tokio die Hunde.
oder
Wenn Katharina beim Weitsprung 8 m weit springt, dann wird sie zur Olympiade zugelassen.
Katharina wird nicht zur Olympiade zugelassen.
Schluß: Also ist Katharina nicht 8 m weit gesprungen.
Ein Ableitungssystem, auch Kalkül genannt, ist eine Methode des Schließens durch die Manipulation von
Symbolen. Ableitungssysteme bestehen aus einer Menge von Regeln und einer Menge von Axiomen. Jede
Regel besteht aus einer Menge von Prämissen und einer Konklusion. Eine Regel kann angewandt werden,
wenn die Prämissen erfüllt sind. Diese Regeln werden häufig in der folgenden Art geschrieben:
P1, . . . , Pn
K
Dabei stehen die Pi für die Prämissen und K für die Konklusion. Manchmal besteht die Konklusion auch
aus mehreren Aussagen. Diese werden dann durch Kommata getrennt. In unserem Beispiel wären ’Wenn es
in Tokio regnet, dann schütteln sich in Tokio die Hunde.’ und ’Es regnet in Tokio.’ die Prämissen. Haben wir
nun einen Satz, der seiner syntaktischen Struktur nach den Pi entspricht (sowohl die Prämissen als auch die
Konklusion enthalten Aussagenvariablen), dann dürfen wir diesen, ohne daß sich die durch ihn ausgedrückte