Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

S : Syntaktische Aussage → (Zustand → Ziel Wahrheitswert)
S ist ein Übersetzer, s ist ein Interpretierer. Das analoge Konzept existiert auch in der Analysis in Form des
unbestimmten und des bestimmten Integrals. Die Definition erfolgt analog zu der von s über Funktionalgleichungen
(das Ergebnis ist wiederum eine Funktion!) wie zum Beispiel:
S (¬ Faktor)(state) = nicht S(Faktor)(state)
Wir werden im weiteren immer die Interpretierer-Variante verwenden.
2.1.4 Konversion - Ableitung
Bislang haben wir nur die Möglichkeit, den Wert einer formalen Aussage dadurch zu bestimmen, daß wir
die Semantik der Aussage berechnen und dann innerhalb des semantischen Modells deren Wert bestimmen.
Darüber hinaus ist es häufig sinnvoll, auch über eine Möglichkeit zu verfügen, syntaktische Aussagen direkt zu
manipulieren, ohne ihren Wert zu bestimmen und sei es nur, um die Lesbarkeit zu erhöhen. Die Notwendigkeit
hierfür ergibt sich sowohl aus dem Wunsch, die Lesbarkeit von Aussagen zu erhöhen als auch aus dem Bestreben,
den Wert einer Aussage zu bestimmen. Dies kann über das bereits eingeführte Verfahren, gerade dann
wenn eine Aussage in vielen Variablen vorliegt, recht mühsam werden. Schon das Aufstellen der Wahrheitstafel
erweist sich u.U. als ziemlich aufwendig (s. die im vorangegangenen Kapitel gezeigte Berechnungsvorschrift
für die Zahl der Kombinationsmöglichkeiten).
Es gibt zwei Möglichkeiten zur syntaktischen Manipulation, Konversion und Ableitung. Sowohl bei der Konversion
als auch bei der Ableitung kommt es ausschließlich auf die syntaktische Struktur der betrachteten Sätze
an. Die Semantik spielt keine Rolle. Wichtig ist auch, daß weder in Konversions- noch in Ableitungsregeln
konkrete Sätze (d.h. Aussagen im Fall der Aussagenlogik) auftauchen, sondern sogenannte Aussagenvariablen.
Diese stehen für beliebige Sätze der betrachteten formalen Sprache. Wichtig ist nur ihre syntaktische Zusammensetzung.
Ableitung ist der allgemeinere Begriff. Man kann alle Konversionsregeln auch als Ableitungsregeln
schreiben. Konversionsregeln können im Gegensatz zu Ableitungsregeln in beide Richtungen gelesen werden.
2.1.4.1 Konversion
Konversion dient dem Zweck, eine Aussage in eine semantisch äquivalente umzuformen. Der Äquivalenzbegriff
muß für jede Sprache eigens eingeführt werden.
Definition 2.1.5 (Äquivalenzen in der Aussagenlogik)
Zwei Aussagen A und B heißen genau dann äquivalent, wenn in allen Zuständen gilt:
s (A, state) = s (B, state)
‘A ≡ B’ ist dann eine Äquivalenz oder eine korrekte Konversionsregel.
Die Korrektheit einer Konversionsregel ist über ihre semantische Bedeutung natürlich nachzuweisen. Es erscheint
sinnvoll, eine Vielzahl von Konversionsregeln einmal auf ihre Korrektheit zu prüfen, um das Vereinfachen
von Aussagen zu erleichtern. Dabei können Konversionen auch als Optimierung über Aussagen der
Quellsprache verstanden werden, bevor die Berechnung in einem konkreten Zustand stattfindet.
Diese Regeln in Abbildung 2.9 entsprechen jenen aus [Gries, 1981]. Die Ei sind Aussagenvariablen. Die Menge
der Konversionsregeln sollte niemanden erschrecken. Viele haben Sie bereits schon häufig angewandt. Es ist
jedoch für jede (formale) Sprache sinnvoll, sich der Regeln, deren man sich zur Manipulation von Sätzen
bedient, zu vergewissern. K4 ist benannt nach Augustus De Morgan, einem Mathematiker des neunzehnten
Jahrhunderts, der zusammen mit Boole grundlegende Arbeiten auf dem Gebiet der Logik ausgeführt hat.