Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

Für den Zusammenhang zwischen Quell- und Zielsprache definieren wir eine Interpretationsfunktion mit folgendender
Funktionalität:
s : Syntaktische Aussage × Zustand → Ziel Wahrheitswert
Diese Definition besagt, daß die Funktion s ein Objekt vom Typ Syntaktische Aussage (soll heißen einen
Ableitungsbaum) und ein Objekt von Typ Zustand nimmt und ein Objekt vom Typ Ziel Wahrheitswert (soll
heißen ein Element der Zielsprache) liefert. D.h. die Funktion s ist eine Funktion mit zwei Argumenten, die
einen Ausdruck der Quellsprache zusammen mit einem Zustand auf einen Wahrheitswert der Zielsprache
abbildet. Aus Platzgründen werden wir im folgenden, statt jedesmal explizit den Baum anzugeben, uns auf
den durch ihn ableitbaren Ausdruck beschränken.
Wozu benötigen wir einen Zustand? In dem ’Quell Ausdruck’ treten u.U. Bezeichner auf. Wir brauchen daher
eine Handhabe, um zu entscheiden, welcher Wert (d.h. welches Element aus Ziel Wahrheitswerte) einem
Bezeichner zugeordnet wird. Zu diesem Zweck führen wir den Begriff des Zustandes ein.
Definition 2.1.1 (Zustand)
Ein Zustand ist eine Funktion, von der Menge der Bezeichner in die der Wahrheitswerte wahr und
falsch, also die semantischen Wahrheitswerte, d.h.
Zustand : Bezeichner → Ziel Wahrheitswert
In der Logik wird die Funktion Zustand häufig als Belegung bezeichnet.
Dieser ’Zustand’, d.h. die Funktion kann z.B. über eine Wertetabelle festgelegt werden.
Beispiel 2.1.2
Sei Zustand die durch [a ↦→ wahr, bc ↦→ falsch, mu ↦→ wahr] gegebene Funktion.
Dann bedeutet Zustand(a) die Anwendung der Funktion Zustand auf den Bezeichner a:
Zustand(a) = wahr und entsprechend Zustand(bc) = falsch und Zustand(mu) = wahr.
Man beachte, daß Zustand keine totale Funktion ist, da Zustand nicht für alle möglichen Bezeichner
definiert ist; Zustand(Marion) ist bspw. undefiniert. Man mache sich klar, daß auch bei der Auswertung
einer Gleichung x + 4 = 9 der Wert von x bekannt sein muß, um den Wert der Aussage zu ermitteln.
Wir gehen davon aus, daß jeder Bezeichner in einer Aussage in dem jeweiligen Zustand definiert ist; anderenfalls
ist die gesamte Interpretation undefiniert. Dann werden die Definitionsgleichungen über die syntaktische
Struktur der Aussagen rekursiv wie folgt definiert:
s (Bezeichner, state) = state(Bezeichner)
s (T, state) = wahr
s (F, state) = falsch
s ((Aussage), state) = s (Aussage, state)
s (¬ Faktor, state) = (nicht s (Faktor, state))
s (Term ∧ Faktor, state) = (s (Term, state) und s (Faktor, state))
s (Ausdruck ∨ Term, state) = (s (Ausdruck, state) oder s (Term, state))
s (Imp-Ausdruck ⇒ Ausdruck, state) = (s (Imp-Ausdruck, state) impl s (Ausdruck, state))
s (Aussage ⇔ Imp-Ausdruck, state) = (s (Aussage, state) gleich s (Imp-Ausdruck, state))
Abbildung 2.8: Semantik aussagenlogischer Formeln
Was auf den ersten Blick kompliziert aussieht, ist eigentlich nicht sehr schwierig. ’s (Quell Ausdruck, state)’
bedeutet, daß die Semantik des quellsprachlichen Ausdrucks Quell Ausdruck im Zustand ’state’ definiert wird;
genauer gesagt, daß die Funktion s auf die beiden Argumente Quell Ausdruck und state angewendet wird.
Rechts von dem Gleichheitszeichen steht dann die zielsprachliche Definition für Quell ausdruck. In dieser
Definition kann die Funktion s wieder auftreten. Das bedeutet dann, daß an dieser Stelle der Parameter auf
seine syntaktische Struktur hin zu prüfen ist und der Ausdruck gemäß den Definitionen ersetzt werden muß.
Zu berücksichtigen ist hier, daß auch diese Anwendung der Funktion s natürlich wieder einen state erfordert.