Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

Für die Zuordnung zwischen der Objekten der Quellsprache und denen der Zielsprache benötigen wir wiederum
eine Metasprache. Diese entspricht der BNF im Fall der Syntax. Deren Elemente werden wir jedoch nur
insoweit einführen, als daß wir sie aktuell benötigen. Später, bei der Definition der Programmiersprache Eiffel,
werden wir weitere Konstruktionselemente kennenlernen. Hier soll zunächst am Beispiel der Aussagenlogik
die prinzipielle Vorgehensweise dargestellt werden.
Im ersten Schritt definieren wir die Zielsprache. Wir führen zunächst die Objekte der Zielsprache ein:
Ziel Wahrheitswerte = { wahr, falsch}
Ziel Operatoren = { und, oder, nicht, impl, gleich }
und legen weiter fest, daß für die Anwendung der Ziel Operatoren auf die Ziel Wahrheitswerte folgende Wertetabelle
gelten soll. Dabei zeigt in der folgenden Tabelle jede Zeile für eine mögliche Wertekombination von
b und c den Wert der fünf zielsprachlichen Operationen.
b c (nicht b) (b und c) (b oder c) ( b impl c) (b gleich c)
falsch falsch wahr falsch falsch wahr wahr
falsch wahr wahr falsch wahr wahr falsch
wahr falsch falsch falsch wahr falsch falsch
wahr wahr falsch wahr wahr wahr wahr
Abbildung 2.7: Wahrheitstafel für die Aussagenlogik
Der Wert einer Aussage mit mehr als einem Operator wird dadurch bestimmt, daß obige Tabelle solange auf
die Teilaussagen angewandt wird, bis die gesamte Aussage auf wahr oder falsch reduziert ist.
Beispiel: ((wahr und falsch) oder (wahr und wahr)) ❀ (falsch oder wahr) ❀ wahr
An dieser Stelle wird ’❀’ benutzt, um die sich aus der Wahrheitstafel ergebende Gleichheit zu beschreiben.
❀ ist dabei kein Element der Sprache der Aussagenlogik. Da es aber nur endlich viele Symbole für die
verschiedenen Gleichheiten gibt und meist ohnehin aus dem Kontext entscheidbar ist, welches gemeint ist,
werden wir im folgenden statt ❀ immer = schreiben.
Nun sind wir in der Lage, in der Zielsprache zu rechnen. Der nächste Schritt besteht darin, den Zusammenhang
zwischen Ausdrücken der Quell- und denen der Zielsprache festzulegen.
Hierzu benötigen wir zunächst den Begriff der Funktionalität. Die Funktionalität gibt an, welche Typen
Objekte haben dürfen, auf die eine Funktion angewendet werden soll. Typen sind dabei Mengen. Ein Beispiel
aus der Analysis möge dies einführen. Die Funktionalität der Wurzelfunktion kann beschrieben werden als:
√ : Reelle-Zahl → Reelle-Zahl
Dieser Ausdruck ist so zu interpretieren, daß √ eine Abbildung von Reelle-Zahl nach Reelle-Zahl ist. Es wird
also gefordert, daß die Funktion √ nur auf Elemente aus der Menge der reellen Zahlen angewendet werden
darf. Ergebnis ist immer ein Element aus der Menge rechts des letzten Pfeils. Allgemeiner könnte man auch
schreiben:
√ : Reelle-Funktion → Reelle-Funktion
Hier wäre Reelle-Funktion eine Funktion, die ihrerseits eine reelle Funktion als Ergebnis liefert. Diese Verallgemeinerung
ist sinnvoll, da nur so beschrieben werden kann, daß Funktionen auf Funktionen angewendet
werden dürfen. Ein Beispiel hierfür ist die Funktion 3 √ , die durch Anwendung der Funktion √ auf die Funk-
tion 3 √ entsteht. Ein weiteres Beispiel ist die wohl bekannte Multiplikationsfunktion. Üblicherweise schreiben
wir: a ∗ b = c, alternativ könnte man dies jedoch als mult(a, b) = c schreiben. Die erste Schreibweise bezeichnet
man auch als Infix-Notation und die zweite als Prefix-Notation. mult ist eine zweistellige Funktion,
mit mult : IR × IR→IR. Man mache sich deutlich, daß natürlich auch gilt: ∗ : IR × IR→IR. Durch die Infix-
Schreibweise wird weniger deutlich, daß ∗, + usw. natürlich auch Funktionen sind und zwar Funktionen der
Stelligkeit zwei.