Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

2.1.3 Semantik
Wir werden nun zeigen, wie man die Semantik einer Sprache definieren kann. Zu diesem Zweck führen wir
die ’denotationale’ Semantik ein. Vorab sei jedoch gesagt, daß weitere Formen existieren. Streng genommen
ist die denotationale Interpretation einer Sprache die Beschreibung des Zusammenhangs zwischen Sätzen der
zu definierenden Sprache (Quellsprache) und einer zweiten, bei der man so tut, als wäre deren Bedeutung
klar. Dies ist bespielsweise der Fall, wenn die Semantik der französischen Sprache mittels der deutschen
beschrieben wird. Diese zweite Sprache bezeichnen wir als Zielsprache. Die Berechtigung für die Annahme,
daß die Bedeutung der Zielsprache bekannt sei, ergibt sich daraus, daß für die Interpretation der Zielsprache
häufig eine Struktur gewählt wird, die mathematisch gesehen, eine bekannte ist. Beispiele hierfür sind der
(mathematische) Verband, Ring usw.
Der erste Schritt besteht darin, daß die Objekte (i.e. die Terminalsymbole) der Zielsprache aufgeführt werden.
In unserem Fall ist das die Menge der Wahrheitswerte, wahr und falsch. Weiter benötigen wir eine Menge
von Operationen auf den Objekten der Zielsprache. Im Fall der Aussagenlogik sind das die Operationen
und, oder, nicht, impl und gleich. Man beachte, daß wir im vorhergegangenen Abschnitt ’Syntax der
Aussagenlogik’ nur eine Menge von Zeichen (¬, ∧, ∨, ⇒ , ⇔ , (, )) eingeführt haben.
Den einzelnen syntaktischen Alternativen der Quellsprache wird mittels einer Interpretationsfunktion eine
Bedeutung in der Zielsprache zugeordnet. Die Zielsprache ist eine funktionale, d.h. alle Ausdrücke werden als
Funktionen beschrieben. Dem französischen Wort ’chien’ wird das deutsche Wort ’Hund’ zugeordnet.
Eine Eigenschaft der formalen Logik soll hier noch hervorgehoben werden. Üblicherweise wird bei der Definition
einer formalen Logik unterschieden zwischen Symbolen, die Operationen ausdrücken (z.B. ∧) und
anderen, z.B. Bezeichnern. Erstere werden auch als Operatoren bezeichnet. In der Definition der Semantik
wird dann jedem Operationssymbol der Logiksprache genau ein Operationssymbol der Semantiksprache zugeordnet.
Dies ist für die Definition der Semantik einer formalen Sprache aber nicht zwingend. Es ist statt
dessen natürlich auch möglich, alle Symbole der Quellsprache auf ein Symbol der Semantiksprache abzubilden
(u.U. mit verschiedenen Parametern) oder abhängig von dem Zusammenhang in dem das quellsprachliche
Symbol auftritt, verschiedene Zielsprachensymbole zu verwenden. Typische Beispiele für solche Fälle finden
sich bei der Übersetzung natürlicher Sprachen ineinander. Hier kommt es sowohl vor, daß einem Verb (als
Analogon zu einem Operator) mehrere Bedeutungen in der anderen Sprache zugeordnet werden oder aber
mehreren Verben nur eine. Beispiel für den ersten Fall ist die Interpretation des deutschen Wortes ’können’
als ’savoir’ oder ’pouvoir’, je nach intendierter Bedeutung. Ein Beispiel für den zweiten Fall ergibt sich aus der
Umkehrung, wenn Französich in Deutsch ’übersetzt’ wird. Normalerweise ist man in der Logik an den Eigenschaften
formaler Systeme interessiert. Daraus ergibt sich die Notwendigkeit, diesen Systemen eine Semantik
zu geben. Hierbei ist es häufig von Interesse, zu prüfen, welche Typen von Semantik für ein formales System
’Sinn machen’ und welche Typen von Aussagen unabhängig von der gewählten Semantik immer ’richtig’ sind.
Wir benutzen die Logik als formales Beschreibungsmittel. Also müssen wir auch eine Idee davon entwickeln,
welcher Typ Aussage ’wahr’ ist, bzw. wie der Begriff der Wahrheit überhaupt in unserem formalen System
gefaßt werden kann. Eine allgemeinere Motivation für die Einführung von Quellsprachen überhaupt ist, daß es
hierdurch ermöglicht wird, die betrachtete Abstraktionsebene zu verändern, bzw. das Beschreibungswerkzeug,
denn das genau ist die Sprache, den Anforderungen des zu beschreibenden Gebietes anzupassen.
In üblichen Lehrbüchern zum Thema Logik wird häufig mehr oder weniger darüber hinweggegangen, daß
zunächst die Syntax und anschließend die Semantik der verwendeten formalen Sprache definiert werden
müssen. Häufig werden die quell- und die metasprachlichen Operatoren einfach gleichgesetzt und der Zwischenschritt
über die Semantik vermieden. Die dann angegebene Wertetafel erscheint dann eine Wertetafel
für die Quellsprache zu sein. Unsere Motivation, diese Dinge möglichst sauber zu trennen, ist eine zweifache.
Zum einen werden hiermit die Grundlage derjenigen Mechanismen zur Verfügung gestellt, die später für die
Definition der Programmiersprache Eiffel verwendet werden. Zum anderen wird dadurch die Notwendigkeit
des Kapitels über Ableitungssysteme deutlicher.